Вид товаров

[Neytrall]

Например
У меня есть utility $U=X^{0.5} +Y$.
Его MRS будет : $MRS=\frac{1}{2\sqrt{X}}$.
Можно ли из этого заключить какой это товар? Нормальный, второсортный или нейтральный?

Если "да", то как? Покажите, пожалуйста, на этом примере.

[bubu gaga]

Приведите свои попытки решить

[Neytrall]

Вот:

$MRS=\frac{U'_x}{U'_y}=...=\frac{1}{2\sqrt{X}}$
Так же
$MRS=\frac{P_x}{P_y}$
Приравнял:
$\frac{1}{2\sqrt{X}}=\frac{P_x}{P_y}$
Нашёл $X$
$X=\frac{P_y^2}{4P_x^2}$

Это первое, что я сделал. От сюда я увидел, что $I$ не влияет на $X$. И пришёл к выводу, что $X$ это нейтральный товар.
Так же я попробовал нарисовать эти $U$. Получилось, что если взять любой $y$ и подставлять к нему разные $x$, то производная в этих точках одинаковая.(то есть, как-будто одна линия просто много раз сдвинута по оси $Y$). Поскольку увеличение $I$ не влияет на наклон линии бюджета, а лишь поднимает её, я решил, что касаться $U$ она будет в точках с одним и тем же $X$. Что тоже подтверждает мою догадку.
Но я не уверен и поэтому спросил на форуме.

[bubu gaga]

Для перепроверки можете ещё найти производную $\dfrac{\partial y*}{\partial I}$. Или подставить $y = \dfrac{I}{p_y} - \dfrac{p_x}{p_y}x$ в уравнение для функции полезности и максимировать её значение по $x$.

[Neytrall]

Так. Сейчас я пересмотрел задачу. Получилось, что $X$ нормальный пока $I\leqslant \frac{P_y^2}{4P_x^2}$.
А когда $I> \frac{P_y^2}{4P_x^2}$, то $X$ становитяс нейтральным.
Это правильно?

[bubu gaga]

Не стоило пересматривать

[Neytrall]

Нет. Стоило. Это правильный ответ. Так как пока $I$ слишком маленький, то $y=0$ и все деньги идут на $x$. Соответственно пока $I$ растёт до определённой высоты, $x$ растёт вместе с них и является "нормальным" товаром. Потомкогла $I$ переходит определённый уровень, человек насыщается $x$-ом и начинает тратить дополнительные деньги только на $y$.

[bubu gaga]

Да, Вы правы. При оптимизации нельзя допускать чтобы $x$ или $y$ становились отрицательными.

[Neytrall]

Скажите, пожалуйста, как записать функцию производства, если для того что бы произвести одну единицу $X$, требуется $0.2$ кг пластика и $0.4$ кг меди. Подозреваю что $X=Min(\frac{p}{0.2},\frac{m}{0.4})$ - где $p$ это пластик, а $m$ это медь.

[bubu gaga]

Я бы ещё округлил коли в единицах измеряется

$$\min \left\{ \left\lfloor \frac{p}{0.2} \right\rfloor, \left\lfloor \frac{m}{0.4} \right\rfloor \right\}$$

[Neytrall]

Ага...спасибо. А как находится в такой функции "returns to scale"?

[bubu gaga]

http://en.wikipedia.org/wiki/Returns_to_scale

По определению. Если уберёте округление, то всё очень мило сокращается

[Neytrall]

Я знаю как определять её в обычных функциях, но как это делать в функциях минимум\максимум?

[bubu gaga]

Чему равен $\max\left\{\alpha u, \alpha v \right\}$, если $\alpha \ge 0$

[Neytrall]

$\alpha \max\left\{u, v \right\}$ - неужели всё так просто!