Решить кубическое уравнение

[NatNiM]

Дано уравнение $\[ x^3 - 3x^2 - 1 = 0 \] $. Решаю его методом Виета-Кардано.
$\[ \begin{array}{l} Q = \left( {a^3 - 3b} \right)/9 = 1 \\ R = \left( {2a^3 - 9ab + 27c} \right)/54 = \frac{1}{2} \\ \end{array} \] $
Получается, уравнение имеет 3 действительных корня, один из них, например,
$\[ x_1 = - 2\sqrt Q \cos t - \frac{a}{3} = - 2\cos \left( {\frac{{\arccos \frac{1}{2}}}{3}} \right) + 1 = - 2\cos \frac{\pi }{9} + 1 \]$, где
$\[ t = \frac{{\arccos \left( {\frac{R}{{\sqrt {Q^3 } }}} \right)}}{3} = \frac{{\arccos \left( {\frac{1}{2}} \right)}}{3} \] $
Но при проверке этого значения уравнение не обращается в ноль!

[nn910]

NatNiM в сообщении #240451 писал(а):

Дано уравнение $\[ x^3 - 3x^2 - 1 = 0 \] $. Решаю его методом Виета-Кардано.

Не знаю где ошибка в применении метода, но это уравнение можно сделать приведенным $z=\dfrac{1}{x}$ $z^3+3z-1=0$ Видно что корень один и вообще формулы проще.

[jetyb]

Вы неправильно посчитали $Q$ и $R$.

[dmd]

NatNiM в сообщении #240451 писал(а):

Дано уравнение $\[x^3 - 3x^2 - 1 = 0\]$.
...
Получается, уравнение имеет 3 действительных корня

Это уравнение имеет один действительный и два мнимых корня.
Три действительных корня будет иметь уравнение $\[x^3 - 3x^2 + 1 = 0\]$

[NatNiM]

Да, нашла ошибку.
$\[ \begin{array}{l} Q = \left( {a^2 - 3b} \right)/9 = 1 \\ R = \left( {2a^3 - 9ab + 27c} \right)/54 = - \frac{3}{2} \\ A = - sign\left( R \right)\left[ {\left| R \right| + \sqrt {R^2 - Q^3 } } \right]^{1/3} = \left[ {\frac{3}{2} + \sqrt {\frac{9}{4} - 1} } \right]^{1/3} = \left( {\frac{3}{2} + \frac{{\sqrt 5 }}{2}} \right)^{1/3} \\ B = \frac{Q}{A} = \frac{1}{{\left( {\frac{3}{2} + \frac{{\sqrt 5 }}{2}} \right)^{1/3} }} \\ x = A + B - \frac{a}{3} = \left( {\frac{3}{2} + \frac{{\sqrt 5 }}{2}} \right)^{1/3} + \left( {\frac{3}{2} + \frac{{\sqrt 5 }}{2}} \right)^{ - 1/3} + 1 \\ \end{array} \] $
Только вот опять не то, такое ощущение, что ошибка в написание формулы для \$[ Q \]$?

[jetyb]

$Q$ все еще неверно посчитано, посмотрите на вид уравнения, к которому применяется формула.

[NatNiM]

jetyb в сообщении #240472 писал(а):

$Q$ все еще неверно посчитано, посмотрите на вид уравнения, к которому применяется формула.

Формула применяется к уравнению вида $\[ x^3 + ax^2 + bx + c = 0 \]$, в моем случае
$\[ a = - 3,\,\,b = 0,\,\,c = - 1 \]$

[gris]

А я подставил и увидел, что Вы действительно нашли корень. $x \approx 3,103803403$
Всё правильно у Вас. Только Вы при расчётах пользуетесь калькулятором и делаете ошибки. А надо использовать EXCEL.

[NatNiM]

gris в сообщении #240503 писал(а):

А я подставил и увидел, что Вы действительно нашли корень. $x \approx 3,103803403$
Всё правильно у Вас. Только Вы при расчётах пользуетесь калькулятором и делаете ошибки. А надо использовать EXCEL.

Перепроверила еще раз, действительно так. Только я использовала MathCad.

Всем спасибо за помощь!

[Бодигрим]

gris в сообщении #240503 писал(а):

А надо использовать EXCEL.

ИМХО странная рекомендация. Если уж всерьез задумываться об организации сложных вычислений, то надо брать ПО, поддерживающее "длинную арифметику".

[gris]

Бодигрим, если честно, то иногда не хочется из пушки по воробьям стрелять. Да ие у всех есть математические пакеты, не все умеют пользоваться.

А те же определители 3-4 порядка в EXCEL легко считать хотя бы для проверки. Я, например, постоянно ошибаюсь в самой простой арифметике.

[Mitrius_Math]

gris в сообщении #240607 писал(а):

Я, например, постоянно ошибаюсь в самой простой арифметике.

Прошу прощения, что не по теме, но у меня та же болезнь: например, минусы самым загадочным образом превращаются в плюсы. Не знаю, как с этим бороться...

[gris]

Mitrius_Math, зачем с этим бороться? Умение превращать минусы в плюсы -это, знаете, не каждому дано!

[Mitrius_Math]

gris в сообщении #240609 писал(а):

Mitrius_Math, зачем с этим бороться? Умение превращать минусы в плюсы -это, знаете, не каждому дано!

Я серьёзно, а Вы о "магии"...

[gris]

Я не о магии, а о лимоне и лимонаде. Как большой пофигист я, например, минусы просто стараюсь не замечать. Но они же вырастают, заразы...