нули лин. комбинаций мнимых экспонент с полиномами

[RIP]

Пусть $x=(x_1,x_2,\ldots)\in\mathcal W$, где $\mathcal W$ - замыкание в $l^\infty$ линейной оболочки последовательностей вида $(e^{2\pi ip(n)})_{n\in\mathbb N}$, $p(z)\in\mathbb R[z]$.

1) Пусть при любом $l\in\mathbb N$ найдётся $n\in\mathbb N$, что $x_{n+1}=\ldots=x_{n+l}=0$. Докажите, что $x=0$.

2) Более общо, пусть $S=\{\sum_{\nu\in I}n_\nu\mid\varnothing\ne I\subset\mathbb N,|I|<\infty\}$, где $\{n_\nu\}_{\nu=1}^\infty$ - некоторая последовательность натуральных чисел (не обязательно различных), $n_0\in\mathbb N$. Докажите, что если $x_{n_0+n}=0$ при $n\in S$, то $x_{n_0}=0$.

P.S. $\mathbb N=\{1,2,3,\ldots\}$.