Определение непрерывности функции

[NatNiM]

Функция
$\[ f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} { - 4,\,x < - 4} \\ {x,\, - 4 \le x \le 4} \\ { - 2,\,\,x = 4} \\ {4,\,\,x > 4} \\ \end{array}} \right. \] $
Непрерывна ли функция на своей области определения? Если нет, установить род разрыва. Если этот разрыв устраним, то переписать функцию так, чтобы она была непрерывна.

Я так поняла, что точка разрыва есть, это x=4 и она второго рода, не устранимая?
Поправьте меня, если это не так.
Спасибо.

[bot]

Прежде всего надо определиться с функцией. Чему равно её значение при $x=4$?
Во-вторых, что такое разрыв второго рода?

[ewert]

NatNiM в сообщении #240018 писал(а):

второго рода

Почему?

NatNiM в сообщении #240018 писал(а):

не устранимая?

Почему?

NatNiM в сообщении #240018 писал(а):

$x,\, - 4 \le x \le 4$

Второе неравенство неверно.

[TOTAL]

bot в сообщении #240019 писал(а):

Чему равно её значение при $x=4$?

Как чему, предложено целых два варианта, выбирай любой!

[bot]

Ну тогда и ответ надо будет выбирать любой из двух среди следующих трёх вариантов:
1) разрывов нет
2) предложенный топикстартером
3) повременю сказать, какой.

[ewert]

bot в сообщении #240023 писал(а):

любой из двух среди следующих трёх вариантов:

Красиво сказано.

bot в сообщении #240023 писал(а):

2) предложенный топикстартером

Это ни в каком варианте невозможно.

[NatNiM]

Да, я ошиблась при написании, функкция такая
$\[ f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} { - 4,\,x < - 4} \\ {x,\, - 4 \le x < 4} \\ { - 2,\,\,x = 4} \\ {4,\,\,x > 4} \\ \end{array}} \right. \]$
Прошу прощения.

И т.к.
$\[ \begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to - 4_ - } f\left( x \right) = - 4 \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - 4_ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 4_ + } x = - 4 \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 4_ - } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4_ - } x = 4 \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to 4_ + } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 4_ + } x = 4 \\ \end{array} \]$

то функция непрерывна вроде бы, но что делать с точкой $\[ x = 4 \] $? Она получается неустранимая, но какого рода?

[ewert]

NatNiM в сообщении #240044 писал(а):

Она получается неустранимая, но какого рода?

Что такое устранимая точка?

Что такое разрыв 1-го рода -- и что такое 2-го?

NatNiM в сообщении #240044 писал(а):

функция непрерывна вроде бы

В каком смысле "вроде"? (написанного недостаточно для такого вывода)

[NatNiM]

Первого рода - если пределы существуют и справа и слева не равны, непрерывная - если существую и равны. Второго рода - не существуют. Т.е. это непрерывная функция. Но пределы рассматриваются приближенные к исследуемым точкам, так а как быть с точкой $\[ x = 4 \]$, как ее рассмотреть?

[ewert]

NatNiM в сообщении #240079 писал(а):

Первого рода - если пределы существуют и справа и слева не равны, непрерывная - если существую и равны. Второго рода - не существуют.

Неверная формулировка. Т.е. это вообще не формулировка, а разве что намёк на неё, и довольно бессвязный. Так Вы действительно ни в чём не разберётесь.

[NatNiM]

ewert в сообщении #240083 писал(а):

NatNiM в сообщении #240079 писал(а):

Первого рода - если пределы существуют и справа и слева не равны, непрерывная - если существую и равны. Второго рода - не существуют.

Неверная формулировка. Т.е. это вообще не формулировка, а разве что намёк на неё, и довольно бессвязный. Так Вы действительно ни в чём не разберётесь.

Да, нашла формулировку. Если пределы слева и справа существуют, равны друг другу, но не равны значению функции в этой точке (как в случае при x=4), такая точка называется устранимой точкой разрыва первого рода.

[ewert]

NatNiM в сообщении #240099 писал(а):

Если пределы слева и справа существуют, равны друг другу, но не равны значению функции в этой точке (как в случае при x=4), такая точка называется устранимой точкой разрыва первого рода.

Это правда.

(хотя в общей формулировке допускается также случай, когда функция в самой точке не определена)

[NatNiM]

ewert в сообщении #240100 писал(а):

NatNiM в сообщении #240099 писал(а):

Если пределы слева и справа существуют, равны друг другу, но не равны значению функции в этой точке (как в случае при x=4), такая точка называется устранимой точкой разрыва первого рода.

Это правда.

(хотя в общей формулировке допускается также случай, когда функция в самой точке не определена)

А доопределить как ее?

[ewert]

А "устранимой" та точка называется именно потому, что функцию можно переопределить или доопределить по непрерывности (т.е. по совпадающим пределам). Если функция изначально не определена -- то доопределить; если определена, но "неправильно" -- то переопределить.

[NatNiM]

ewert в сообщении #240161 писал(а):

А "устранимой" та точка называется именно потому, что функцию можно переопределить или доопределить по непрерывности (т.е. по совпадающим пределам). Если функция изначально не определена -- то доопределить; если определена, но "неправильно" -- то переопределить.

Не могу переопределить функцию в точке $\[ x = 4 \] $