Почему парадокс Рассела - корректная формулировка?

[ewert]

Профессор Снэйп в сообщении #239739 писал(а):

А класс всех классов в NF существует?

Класса всех классов не существует как класса

(пардон, не удержался, чтоб не откликнуться)

[vinfdsc]

Профессор Снэйп в сообщении #239736 писал(а):

Парадокс возник, грубо говоря, из-за непонимания сути множеств. До Рассела наивно полагали, что можно задавать произвольное свойство и считать, что оно автоматически формирует множество. Но выяснилось, что если мы не хотим иметь в теории логических противоречий, то так делать нельзя.

Мы отошли от темы. Ты говоришь "выяснилось", но выяснилось это именно парадоксом Рассела. Вот я и спрашиваю, как же это выяснилось, если Рассел дал неоднозначное определение свойства множества, а затем стал эту неоднозначность использовать, приходя к "парадоксу", который, на самом деле, не существует. Достаточно лишь дополнить его определение свойства дополнительным указанием - и всё становится на свои места.

[masha pupsic]

Цитата:

А класс всех классов в NF существует?

Простите, а на кой черт он там нужен, если имеется универсальное множество.
Класс всех классов, существует в подходящем консервативном расширении GB.

-- Вт сен 01, 2009 23:20:29 --

ewert в сообщении #239743 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #239739 писал(а):

А класс всех классов в NF существует?

Класса всех классов не существует как класса

(пардон, не удержался, чтоб не откликнуться)

Cовершенно верно. Такая штука называется суперклассом. У Коэна есть об этом пару строк.

[rishelie]

а мне думается, что если отношение $a\in b$ понимать как $b$ бреет $a$, то оба парадокса представляют собой одно и то же с точносью до терминов. множество Расселла в данном случае - это брадобрей, определяемый как тот, кто бреет всех, кто не бреется сам. Иначе говоря, Брадобрей бреет $a$ тогда и только тогда, когда $a$ не бреет $a$.
Хотя первоначальный вопрос вроде был о том, применимо ли слово "парадокс" к получаемому таким вот образом противоречию.
Что такое (не)полное определение множества - не понял.

[masha pupsic]

rishelie в сообщении #239747 писал(а):

а мне думается, что если отношение $a\in b$ понимать как $b$ бреет $a$, то оба парадокса представляют собой одно и то же с точносью до терминов. множество Расселла в данном случае - это брадобрей, определяемый как тот, кто бреет всех, кто не бреется сам. Иначе говоря, Брадобрей бреет $a$ тогда и только тогда, когда $a$ не бреет $a$.
Хотя первоначальный вопрос вроде был о том, применимо ли слово "парадокс" к получаемому таким вот образом противоречию.
Что такое (не)полное определение множества - не понял.

rishelie вы совершенно правы. Не даром покойный Дартаньян говорил мне, что вы самый умный человек во всей Франции.

[vinfdsc]

rishelie в сообщении #239747 писал(а):

Что такое (не)полное определение множества - не понял.

Неполное в том смысле, что Рассел определил своим определением множества не одно, а сразу два множества - в котором есть и в котором отсутствует само это множество. Если это определение дополнить - будет всё нормально и ни к какому парадоксу мы не придём. Или я где-то ошибаюсь?

Т.е., грубо говоря, Рассел не определил свойство, которое существует для всех рассматриваемых нами объектов , и тем это определение "неполно" в смысле неоднозначности при определении множества и в смысле того, что определение действительно только для подмножества рассматриваемых нами объектов.

[ewert]

masha pupsic в сообщении #239746 писал(а):

Cовершенно верно. Такая штука называется суперклассом.

К сожалению, это не снимает проблемы (высосанной из пальца). А суперкласс всех суперклассов -- существует ли как суперкласс?...

[masha pupsic]

Рассел определил, как Кантор прописал
x\in R\Longleftrightarrow x \not \in x \,

-- Вт сен 01, 2009 23:39:55 --

ewert в сообщении #239750 писал(а):

masha pupsic в сообщении #239746 писал(а):

Cовершенно верно. Такая штука называется суперклассом.

К сожалению, это не снимает проблемы (высосанной из пальца). А суперкласс всех суперклассов -- существует ли как суперкласс?...

Почитайте Коэна. Он там объясняет для чего и как.

[vinfdsc]

masha pupsic в сообщении #239751 писал(а):

Рассел определил, как Кантор прописал
x\in R\Longleftrightarrow x \not \in x \,

Это о чём вообще?

[masha pupsic]

Это определение множества Рассела R, записанное на формальном языке теории множеств.

[vinfdsc]

Ну, если брать формально, тогда я могу придти к противоречию просто записав формулу сразу некорректно - мне даже самоссылочности не надо. Тогда парадокс Рассела опять же следует из в некотором смысле некорректной (неоднозначной) формулировки множества

Пример таких некорректных записей
x\in R\Longleftrightarrow x \not \in R \,
или, скажем,
x\in R\Longleftrightarrow x \not \in B, B \subset R \

Или, словами, например:
Достаточное условие включения элемента во множество: объект является красным автомобилем
Необходимое условие: объект не является грязным автомобилем (необходимое может противоречить достаточному, из чего мы придём к противоречию, что грязный красный автомобиль должен быть и в множестве, и вне его)

Т.е. если мы приходим к другим формулировкам, то парадокс Рассела вообще ничем не отличим от других некорректных формулировок (причём, последняя формулировка даже неизвестно - корректна или нет).
Правда формулой записать такое не получится, наверное
Формулой примерно так
x\in R\Leftarrow x \in A \wedge x \not \in R \Leftarrow x \in B при том, что возможно B \subset A

[masha pupsic]

Само определение?x\in R\Longleftrightarrow x \not \in x \,с точки зрения Канторовской теории множеств, абсолютно корректно,
потому что множества для которых x \not \in x \, встречаются повсеместно и на первый взгляд нет ничего такого, что запрещает рассматривать совокупность всех таких множеств, как новое множество.

[vinfdsc]

masha pupsic в сообщении #239759 писал(а):

Само определение?x\in R\Longleftrightarrow x \not \in x \,с точки зрения Канторовской теории множеств, абсолютно корректно,
потому что множества для которых x \not \in x \, встречаются повсеместно и на первый взгляд нет ничего такого, что запрещает рассматривать совокупность всех таких множеств, как новое множество.

ну а чем некорректны те формулировки, что я написал? Тем, что они более очевидно приводят к бессмыслице? Как формально отличить, что формулировка x\in R\Longleftrightarrow x \not \in x \ корректна, а x\in R\Longleftrightarrow x \not \in R \ - нет?

[masha pupsic]

вторая формулировка содержит противоречие изначально и в явном виде. Не бывает так, чтобы x являлся элементом множества R и одновременно нет

[vinfdsc]

Это неформально, а формально и там и там мы приходим к противоречию, просто одно для нас очевидно, а второе приходится доказывать (причём достаточно просто)

Как узнать, где противоречие указано в явном виде, а где нет? Где заложено "изначально", а где нет? Уж Рассел-то закладывал противоречие как раз изначально. Ведь так, как Рассел заложил - тоже не бывает.

А если смотреть на красные и грязные машины - вообще противоречие то есть, то нет, всё зависит от того, есть ли красные грязные машины, или их нет. И что же, из этого следует, что если кто-то не вымыл свою красную машину, то теория неверна?