Почему парадокс Рассела - корректная формулировка?

[vinfdsc]

Моё понимание парадокса
Кантор говорил, что мы можем определить множество, как совокупность всех неких объектов, которые обладают неким заданным нам свойством

Рассел определяет:
Множество (каталог) является элементом нашего множества тогда и только тогда, когда это можество (ссылок-карточек каталога) не содержит ссылок на само себя

Отсюда говорят, что в случае, если само наше множество не содержит ссылок на само себя, то мы должны включить такую ссылку, но после этого мы её должны исключить, т.к. множество уже будет содержать ссылку на самого себя - пришли к противоречию

Собственно вопрос
Рассел определил свойство объекта-элемента определяемого множества как то, что это множество ссылок, которое не содержит ссылок на само себя.
Создаваемое нами множество содержит или не содержит ссылки на само себя? Нам это не известно, следовательно, для части объектов мы просто не можем определить истинность или ложность свойства, а следовательно, и парадокс Рассела содержит в этом смысле некорректное определение множества, которое и влечёт за собой дальнейшее противоречие - мы не можем определить принадлежность объекта к множеству по причине того, что в определение указано свойство, наличие или отсутствие которого у объекта мы не можем определить.

Т.е., по сути, Рассел внёс в определение множества свойство, определение которого возможно не для каждого объекта (некорректное свойство), и сделал таким образом своё определение множества некорректным, почему же тогда все считают, что это вообще пародокс?

[Профессор Снэйп]

Странное словоупотребление: "ссылка" = "элемент"

Но, вообще-то, суть парадокса изложена более-менее верно. При "порождении" множества используется оно само, ещё не "порождённое". Отсюда и парадокс. Для того и понадобилось изобретать ZFC, которая фактически постулирует, что все множества были когда-то кем-то "порождены" в определённой последовательности. Интуиционизм пытается решить ту же проблему более прямо и грубо. И, надо сказать, с более плачевными результатами, хотя и с большей уверенностью в отсутствии дальнейших парадоксов

[vinfdsc]

Рассуждение Рассела формально абсурдно, т.к. он не может формально определить принадлежность свойства объекту-кандидату на включение в множество. Как может тогда использоваться абсурдное рассуждение для того, чтобы показать какой-то парадокс? Ведь тогда парадокса не существует, так как из абсурдного определения следует абсурдный (противоречивый) вывод, что не показывает какую-либо противоречивость самой "наивной" теории Кантора, ведь он явно подразумевал, что мы можем определить, имеет ли некий объект свойство или нет. Здесь, явно, мы не можем определить принадлежность свойства объекту, где же тогда само противоречие с утверждением Кантора?

[Профессор Снэйп]

vinfdsc в сообщении #239706 писал(а):

Рассуждение Рассела формально абсурдно...

А это смотря в какой формальной системе Вы работаете. В дорасселовском формализме "наивной" теории множеств рассуждение Рассела не было ни абсурдным, ни даже ложным.

Тут понимаете в чём дело... Считалось, что все множества уже существуют от начала времён (и даже раньше, вообще вне времени и пространства). Более того, они неким образом "даны нам в ощущения". Так что вопрос о том, будет ли принадлежать себе множество $R = \{ x : x \not\in x \}$, казался вполне правомерным.

Считалось, что множества никто никогда не "порождал", они просто есть и всё, и мы можем с полным правом рассматривать любое свойство любого множества. Понадобился парадокс Рассела, чтобы понять: хотя бы в каком-то завуалированном виде ссылка на процедуру их порождения необходима. Чтобы не задаваться вопросом: включать в $R$ в качестве элемента само (ещё не "порождённое") множество $R$ или нет в "процессе его порождения"

[masha pupsic]

Профессор, все оказалось не так то просто. Множество Рассела можно отбросить, но куда девать Расселовского парикмахера Если его не будет, то кто тогда будет брить жителей этой самой злополучной деревни, в которой он живет

[vinfdsc]

Я не против вопроса, будет ли принадлежать множество самому себе. Но когда мы задаём вопрос, оказывается, что определение множества по Расселу просто не даёт такой информации для нашего "существующего" множества. Получается, что само определение множества в данном случае просто неполно. Грубо говоря, я могу уточнить его определение множества двумя способами: что элементом множества является любое множество, которое не содержит самого себя, кроме самого нашего множества, которое не является или, наоборот, является элементом самого себя

Т.е. здесь нет никакого, как мне кажется, указания на процесс конструирования множества, но и парадокса тоже нет, т.к. мы убираем неполноту определения. Получается, Рассел просто неоопределил множество, и дело именно в этом (т.е. парадокс, конечно, разрешается и указанием на алгоритм порождения, но я выше привожу определение без такого механизма, которое, вроде бы, является корректным - получается, что не в алгоритме дело).


P.S. А по поводу парикмахера, по-моему, это вообще уже противоречие логическое, а не теории множеств.

[masha pupsic]

Цитата:

P.S. А по поводу парикмахера, по-моему, это вообще уже противоречие логическое, а не теории множеств.

И как от него по вашему следует избавиться

[rishelie]

vinfdsc в сообщении #239725 писал(а):

P.S. А по поводу парикмахера, по-моему, это вообще уже противоречие логическое, а не теории множеств.

потому и говорят - парадокс
если конструкцию множества ничем не ограничивать, то можно вывести противоречние, которое принято называть парадоксом Расселла.
есть еще парадоксы в смысле здравого смысла - та же теорема о разрезании шара в ZFC, такие парадоксы называют антиномиями.
это все философские, нематематические термины.

[Профессор Снэйп]

masha pupsic в сообщении #239724 писал(а):

...куда девать Расселовского парикмахера Если его не будет, то кто тогда будет брить жителей этой самой злополучной деревни, в которой он живет

Отсутствие или наличие парикмахера в деревне слабо влияет на нашу способность делать противоречивые высказывания об её жителях

Если мы скажем, что деревенский парикмахер одновременно лыс и волосат, это будет расценено как явно ложное суждение, наделяющее обсуждаемого субъекта набором взаимоисключающих свойств. В "парадоксе" же брадобрея, по сути, происходит то же самое. Мы постулируем внутренне противоречивый набор свойств парикмера, а потом, расуждая о нём, приходим к противоречию и чему-то неожиданно удивляемся

[masha pupsic]

Профессор, в парадоксе парикмахера ничего изначально противоречивого не постулируется, а к противоречию мы приходим путем применения обычной формальной логики. Есть парадоксы которые строятся без использования оператора отрицания например парадокс Карри.
http://en.wikipedia.org/wiki/Curry%27s_paradox

[vinfdsc]

rishelie в сообщении #239730 писал(а):

если конструкцию множества ничем не ограничивать, то можно вывести противоречние, которое принято называть парадоксом Расселла.

Откуда следует данное утверждение? Я вот выше указываю, что парадокс Рассела - следствие неполного определения множества, а не каких-то проблем в "наивной" теории множеств.

P.S. Просьба насчёт брадобрея обсуждать где-нибудь не здесь. (если хочется - создайте тему дополнительно)

[masha pupsic]

Скажите пожалуйста, какой грозный и чем он вам так не угодил

[Профессор Снэйп]

vinfdsc в сообщении #239725 писал(а):

P.S. А по поводу парикмахера, по-моему, это вообще уже противоречие логическое, а не теории множеств.

Опередили

С множеством Рассела проблема отнюдь не та же самая, что с деревенским брадобреем, хотя выглядят эти парадоксы похоже. Но вот именно, что похоже, а отнюдь не идентично. С брадобреем там просто логическое противоречие. А с множеством Рассела... Парадокс возник, грубо говоря, из-за непонимания сути множеств. До Рассела наивно полагали, что можно задавать произвольное свойство и считать, что оно автоматически формирует множество. Но выяснилось, что если мы не хотим иметь в теории логических противоречий, то так делать нельзя. Хотя если ограничиться выделением подмножеств из неких "реально существующих" (построенных из пустого при помощи образования пары, выделения, взятия степени и т. д.) множеств, называя выделяющий элементы подмножества признак, то противоречий вроде не возникает. Правда, как впоследствии указал Гёдель, если противоречий действительно нет, то обосновать этот факт не удастся

-- Ср сен 02, 2009 01:03:11 --

masha pupsic в сообщении #239733 писал(а):

Профессор, в парадоксе парикмахера ничего изначально противоречивого не постулируется...

Не согласен! Когда мы говорим, что парикмахер бреет в точности тех жителей, которые не бреются сами --- мы именно что постулируем некий набор свойств энтого самого парикмахера

[masha pupsic]

Профессор, в NF существует даже множество всех множеств. Так что дело вовсе не в самих множествах.

[Профессор Снэйп]

masha pupsic в сообщении #239735 писал(а):

Скажите пожалуйста, какой грозный

Плюс адын

-- Ср сен 02, 2009 01:07:05 --

masha pupsic в сообщении #239738 писал(а):

Профессор, в NF существует даже множество всех множеств. Так что дело вовсе не в самих множествах.

А класс всех классов в NF существует?