Решить диофантово уравнение x^3 + y^3 = 7 z^3

[Руст]

Есть способы вычисления всех образующих эллиптической кривой, хотя они и не очень эффективные. Тем не менее уже есть примеры вычисленных эллиптических кривых аж с рангом 21.

[maxal]

Руст писал(а):

Найти все решения в целых числах у уравнения:
$x^3+y^3=7z^3.$

MAGMA умеет находить все решения таких уравнений для любого заданного множества простых чисел, где $z$ разлагается в произведение простых из этого множества.

Вот для примера все решения

$$\left(\frac{x}{z}\right)^3 + \left(\frac{y}{z}\right)^3 = 7$$

, где простые делители $z$ ограничены числом 100:

> SIntegralDesbovesPoints([1,1,0,-7],[ p : p in [1..100] | IsPrime(p) ]); 
[
    [ -1, 2 ],
    [ 2, -1 ],
    [ 4/3, 5/3 ],
    [ 5/3, 4/3 ],
    [ 73/38, -17/38 ],
    [ -17/38, 73/38 ],
    [ 1265/183, -1256/183 ],
    [ -1256/183, 1265/183 ]
]

[maxal]

или вот увеличил границу простых делителей $z$ до 1000:

> SIntegralDesbovesPoints([1,1,0,-7],[ p : p in [1..1000] | IsPrime(p) ]);
[
    [ -1, 2 ],
    [ 2, -1 ],
    [ 4/3, 5/3 ],
    [ 5/3, 4/3 ],
    [ 73/38, -17/38 ],
    [ -17/38, 73/38 ],
    [ 1265/183, -1256/183 ],
    [ -1256/183, 1265/183 ],
    [ 4309182809/2252725111, 191114642/2252725111 ],
    [ 191114642/2252725111, 4309182809/2252725111 ]
]

[Руст]

Число $m=7$ первое натуральное число, для которого видоизменённое уравнение Ферма
$x^3+y^3=mz^3$
имеет бесконечно много взаимно простых решений. Это упоминается во многих учебниках, например Эдвардс "Последняя теорема Ферма". Отмечается, что в этом случае ранг кривой равен 1. Но явного решения этой проблемы, решённой ещё классиками, ни в одной книжке я не нашёл. В лучшем случае это выводится в упражнение.
Таким образом, структура решения такова $Z$. где $Z$ порождается элементом $a=(2,-1)$.
Соответственно $(-1,2)=-(2,-1)$ и maxal перечислил несколько значений $na$, для $n=\pm1, \pm 2, \pm 3,...$.
В книге Прасолова есть сложение точек без приведения к Веерштрассовому виду кривой, т.е. конкретные вычисления не нужны, они легко вычисляются по формулам сложения.

[maxal]

Руст писал(а):

Таким образом, структура решения такова $Z$. где $Z$ порождается элементом $a=(2,-1)$.

А почему не существует других решений?

Добавлено спустя 16 минут 12 секунд:

Руст писал(а):

Число m=7 первое натуральное число, для которого видоизменённое уравнение Ферма
$x^3+y^3=mz^3$
имеет бесконечно много взаимно простых решений.

Кстати, а существуют ли такие натуральные $m$, которые при этом не являются суммой кубов двух целых чисел?

[juna]

Насколько я помню, количество различных образующих задается рангом соответствующей эллиптической кривой. Если решений нет, то ранг равен нулю. В нашем случае нужно показать, что он равен единице.
Я не вижу принципиальных ограничений, если $m$ не является суммой кубов целых чисел, например, $12=(\frac {19} {39})^3+(\frac {89} {39})^3$.
Интересно, а найдет ли MAGMA решение Дьюдени из моего предыдущего поста, а то on-line калькулятор ограничен 20 сек.

[maxal]

juna писал(а):

Я не вижу принципиальных ограничений, если $m$ не является суммой кубов целых чисел, например, $12=(\frac {19} {39})^3+(\frac {89} {39})^3$.

Принципиальное отличие в том, что если $m$ является суммой кубов целых, то $x^3+y^3=m z^3$ имеет хотя бы одно решение целых числах. Для других $m$ это нужно доказывать (ну или опровергать). Кстати, насколько это сложно? В частности, можно ли эффективно найти все такие $m$ в пределах $10^6$ ?

И еще такой вопрос: если у уравнения $x^3+y^3=m z^3$ есть решение в целых числах, обязательно ли у него найдется решение в натуральных числах?

juna писал(а):

Интересно, а найдет ли MAGMA решение Дьюдени из моего предыдущего поста, а то on-line калькулятор ограничен 20 сек.

Кстати, эту задачу Дьюдени и подобную задачу от Ферма мы когда-то обсуждали в fido7.ru.math. Костя Кноп там рассказал о довольно элементарном метода решения для задачи Ферма.

А MAGMA да, тормозная на этот счет. Минут 15 думала при том, что я ей ограничил множество простых только теми, что появляются в решении Дьюдени, но она справилась тем не менее:

> SIntegralDesbovesPoints([1,1,0,-9],[ 2, 3, 5, 7, 17, 73, 307, 2179 ]);  
[
    [ 2, 1 ],
    [ 1, 2 ],
    [ -17/7, 20/7 ],
    [ 20/7, -17/7 ],
    [ 919/438, -271/438 ],
    [ -271/438, 919/438 ],
    [ 415280564497/348671682660, 676702467503/348671682660 ],
    [ 676702467503/348671682660, 415280564497/348671682660 ]
]

Добавлено спустя 58 минут 5 секунд:

juna писал(а):

Представленные выше формулы для размножения точек были получены следующим образом: пусть $a^3+b^3=N$, ищем $x,y$, $x^3+y^3=N$. Предполагаем $y=b+t$, $x=a-\frac{b^2}{a^2}t$ и ищем рациональное $t$, удовлетворяющее этим условиям. Находим $t=\frac{3a^3b}{b^3-a^3}$. Я знаю, что для некоторых $N$ эти формулы не дают всех решений. Например, для $N=9$ соответствующая задача имеется у Г.Э.Дьюдени «Кентерберийские головоломки» задача №20. Первое положительное решение очевидно $2^3+1^3=9$, следующее положительное, полученное по предложенным формулам, содержит в знаменателе 21 цифру, однако решение Г.Э.Дьюдени много короче: $(\frac{415280564497}{348671682660})^3+(\frac{676702467503}{348671682660})^3=9$.

Я думаю, причина кроется в том, что ваши формулы соответствуют удвоению рациональной точки на эллиптической кривой. То есть, начав, например, с $P=(1,2)$ вы последовательно получите: $2P$, $4P$, $8P$ и т.д. А решение Дьюдени может быть равным $3P$ или $5P$ (надо будет это проверить).

[Руст]

maxal писал(а):

juna писал(а):

Я не вижу принципиальных ограничений, если $m$ не является суммой кубов целых чисел, например, $12=(\frac {19} {39})^3+(\frac {89} {39})^3$.

Принципиальное отличие в том, что если $m$ является суммой кубов целых, то $x^3+y^3=m z^3$ имеет хотя бы одно решение целых числах. Для других $m$ это нужно доказывать (ну или опровергать). Кстати, насколько это сложно? В частности, можно ли эффективно найти все такие $m$ в пределах $10^6$ ?

Даже если $m$ является суммой двух кубов, это не является гарантией того, что ранг кривой положительный. Это решение может оказаться периодической точкой кривой ранга $0$.
Имеются эффективные оценки, ограничивающие сверху образующие $(x,y,z)$. Только эти оценки как правило получаются слишком большими.
Где то я встречал таблицу о структуре решений кривых с комплексным умножением
$y^2=x^3+kx$ и $y^2=x^3+k$ вплоть до достаточно больших $k$.
Эти кривые $x^3+y^3=m$ так же приводятся $k$ такому виду. Например, согласно расчётам juna кривая при $m=7$ имеет вид $y^2=x^3-49/108$, так как можно умножать на $c^6$ (другой масштаб кривой) получаем вид $y^2=x^3-21168$. Можно найти структуру решения из этой таблицы.

[maxal]

Руст писал(а):

Где то я встречал таблицу о структуре решений кривых с комплексным умножением
$y^2=x^3+kx$ и $y^2=x^3+k$ вплоть до достаточно больших k.

Да, это так называемая кривая Морделла (Mordell curve), а табличка, скорее всего, вот эта имеется в виду.

Руст писал(а):

Эти кривые $x^3+y^3=m$ так же приводятся k такому виду. Например, согласно расчётам juna кривая при m=7 имеет вид $y^2=x^3-49/108$, так как можно умножать на $c^6$ (другой масштаб кривой) получаем вид $y^2=x^3-21168$. Можно найти структуру решения из этой таблицы.

Кстати, пресловутая MAGMA тоже умеет приводить эллиптические кривые, заданные уравнениями высоких порядков, к "стандартной" (вейерштрассовой) форме. Причем даже несколькими способами. Вот, например, для того же уравнения $x^3+y^3=7z^3$:

> A<X,Y,Z> := ProjectiveSpace(Rationals(),2);
> C := Curve(A, X^3+Y^3-7*Z^3 );
> P := C ! [-1,2,1];

> E1, phi1 := EllipticCurve(C, P); 
> E1;
Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 - 32*x^2 + 1024/3*x - 3072 over Rational Field
> phi1;
Mapping from: CrvPln: C to CrvEll: E1
with equations : 
192/49*X^2 - 144/49*X*Y - 120/49*Y^2
32/7*X^2 + 16*X*Y + 32*X*Z - 64/7*Y^2 - 16*Y*Z - 64*Z^2
-3/49*X^2 - 27/98*X*Y + 3/7*X*Z - 6/49*Y^2 + 3/14*Y*Z
and inverse
16*$.1^2 - $.1*$.2 - 416*$.1*$.3 + 10240/3*$.3^2
-4*$.1^2 + 2*$.1*$.2 - 64*$.1*$.3 + 8192/3*$.3^2
$.1*$.2 + 96*$.1*$.3 - 32*$.2*$.3 - 1024*$.3^2

> E2, phi2 := EllipticCurve(C, Place(P));
> E2;
Elliptic Curve defined by y^2 - 42*x*y - 648*y = x^3 - 369*x^2 - 11880*x - 112320 over Rational 
Field
> phi2;
Mapping from: CrvPln: C to CrvEll: E2
with equations : 
12*X^2*Y - 24*X^2*Z - 48*X*Y^2 + 180*X*Y*Z - 168*X*Z^2 + 96*Y^2*Z - 372*Y*Z^2 + 360*Z^3
-36*X^2*Y - 864*X*Y^2 + 3780*X*Y*Z - 4032*X*Z^2 + 576*Y^2*Z - 2916*Y*Z^2 + 3456*Z^3
Y^3 - 6*Y^2*Z + 12*Y*Z^2 - 8*Z^3

[Профессор Снэйп]

maxal писал(а):

И еще такой вопрос: если у уравнения $x^3+y^3=m z^3$ есть решение в целых числах, обязательно ли у него найдется решение в натуральных числах?

Вроде бы в целых числах всегда есть решение $x=y=z=0$. Или имелись в виду решения в ненулевых целых числах?

[maxal]

Профессор Снэйп писал(а):

maxal писал(а):

И еще такой вопрос: если у уравнения $x^3+y^3=m z^3$ есть решение в целых числах, обязательно ли у него найдется решение в натуральных числах?

Вроде бы в целых числах всегда есть решение $x=y=z=0$. Или имелись в виду решения в ненулевых целых числах?

Интересуют ненулевые, конечно. Тем более, на самом деле мы рассматриваем уравнение в рациональных числах $(\frac{x}{z})^3 + (\frac{y}{z})^3 = m$, а запись в целых - это скорее для удобства (или же уравнение $x^3 + y^3 = m z^3$ можно рассматривать на проективной плоскости).

[maxal]

maxal в сообщении #107860 писал(а):

Принципиальное отличие в том, что если $m$ является суммой кубов целых, то $x^3+y^3=m z^3$ имеет хотя бы одно решение целых числах. Для других $m$ это нужно доказывать (ну или опровергать). Кстати, насколько это сложно? В частности, можно ли эффективно найти все такие $m$ в пределах $10^6$ ?

И еще такой вопрос: если у уравнения $x^3+y^3=m z^3$ есть решение в целых числах, обязательно ли у него найдется решение в натуральных числах?

Нашел ответы на эти вопросы в свежекупленной книжке Henri Cohen "Number Theory: Volume I: Tools and Diophantine Equations" в разделе 6.4.6 Sums of Two or More Cubes.

В частности, ответ на последний вопрос - утвердительный, и доказательство сего факта довольно простое (с помощью метода касательных Ферма):


Классификация же целых чисел, представимых в виде суммы двух рациональных кубов, в полной мере еще не завершена. В книге приведена соответствующая классификация только лишь для простых чисел, причем она опирается на недоказанную гипотезу Бирча и Свиннертона-Дайера. Утверждается, что только следующие простые представимы суммой двух рациональных кубов: $p=2$, $p\equiv 4, 7, 8\pmod{9}$ и некоторые $p\equiv 1\pmod{9}$. В последнем случае критерий довольно хитрый, в частности, в пределах первой сотни ему удовлетворяют только $p=19$ и $p=37$:

[juna]

maxal в сообщении #158368 писал(а):

Нашел ответы на эти вопросы в свежекупленной книжке Henri Cohen "Number Theory: Volume I: Tools and Diophantine Equations"

maxal спасибо за книгу.

[maxal]

Кстати, вторую часть книги дают тут:
http://www.ebookee.com.cn/Number-Theory ... 10317.html

[nnosipov]

Руст в сообщении #107657 писал(а):

Число $m=7$ первое натуральное число, для которого видоизменённое уравнение Ферма
$x^3+y^3=mz^3$
имеет бесконечно много взаимно простых решений. Это упоминается во многих учебниках, например Эдвардс "Последняя теорема Ферма".

Поправлю: все-таки $m=6$ --- наименьшее натуральное число, для которого кривая $x^3+y^3=m$ имеет положительный ранг.