задача Аполлония

[Юнона]

Кто нибудь знает решение задачки Аполлония???

[Гость]

Юнона писал(а):

Кто нибудь знает решение задачки Аполлония???

Может, условие дадите???

[Someone]

Anonymous писал(а):

Юнона писал(а):

Кто нибудь знает решение задачки Аполлония???

Может, условие дадите???

Требуется построить окружность, касающуюся трёх заданных окружностей. Я помню, что в решении как-то используется инверсия, но как - не помню.

[sceptic]

Юнона писал(а):

Кто нибудь знает решение задачки Аполлония???

см. http://virlib.eunnet.net/mif/text/n0197 ... tth_sEc1.5

Хорошо также изложено решение у Савина А., "Инверсия и задача Аполлония" ( Квант, 1971, № 8, стр. 23- 28 ) Можно скачать её отсюда (статья в формате gif):
http://www.brsu.brest.by/pages/kvant/19 ... loniya.htm
Или же заглянуть за журналом в местный Каталог.

[Alex03]

Темы объединены.

Даны: a, b, c, Ra, Rb


Надо найти R


Или по другому:
Надо найти центр и радиус окружности описанной около 3-х окружностей с заданными (произвольными) центрами и радиусами.

-- Ср сен 23, 2009 22:20:39 --
Ну или может кто подскажет как решить такую систему уравнений:

Где: x1, y1, r1, x2, y2, r2, x3, y3, r3 - известны (координаты и радиусы окружностей которые надо описать окружностью).

Надо найти x, y, R

[Nilenbert]

Так это же [url=http://ru.wikipedia.org/wiki/Задача_Аполлония]Задача Аполлония[/url]. Тут даже топик такой уже был:
topic502.html

[AKM]

Alex03,
наберите, пожалуйста, формулы в формате TeX.
Примеры и правила см. здесь.

[Alex03]

Nilenbert, спасибо, чего я только в гугле не искал...
Про геометрический метод решения теперь понятно.

Но нужен всётаки арифметический, т.е. решить систему.
AKM, Спасибо за замечание, простите новичка.
Примерно так.
$ \left\{ \begin{array}{cc} \sqrt {(x-x_1)^2+(y-y_1)^2 } + r_1= R \\ \sqrt {(x-x_2)^2+(y-y_2)^2 } + r_2= R \\ \sqrt {(x-x_3)^2+(y-y_3)^2 } + r_3= R \end{array} $

или даже лучше так:
$ \left\{ \begin{array}{cc} (x-x_1)^2+(y-y_1)^2 } = (R \pm r_1)^2 \\ {(x-x_2)^2+(y-y_2)^2 } = (R \pm r_2)^2 \\ {(x-x_3)^2+(y-y_3)^2 } = (R \pm r_3)^2 \end{array} $

[ewert]

Alex03 в сообщении #246091 писал(а):

или даже лучше так:
$ \left\{ \begin{array}{cc} (x-x_1)^2+(y-y_1)^2 } = (R \pm r_1)^2 \\ {(x-x_2)^2+(y-y_2)^2 } = (R \pm r_2)^2 \\ {(x-x_3)^2+(y-y_3)^2 } = (R \pm r_3)^2 \end{array} $

При вычитании любого уравнения из другого квадраты сокращаются и получается линейное уравнение. Таким образом, можно получить систему из двух линейных уравнений для трёх переменных $x$, $y$ и $R$. Откуда выразить $x$ и $y$ через $R$. Подставив потом это в какое-либо из исходных уравнений, получим квадратное уравнение для $R$.

[nn910]

Alex03 в сообщении #246091 писал(а):

Nilenbert, спасибо, чего я только в гугле не искал...
Про геометрический метод решения теперь понятно.

Но нужен всётаки арифметический, т.е. решить систему.
$ \left\{ \begin{array}{cc} (x-x_1)^2+(y-y_1)^2 } = (R \pm r_1)^2 \\ {(x-x_2)^2+(y-y_2)^2 } = (R \pm r_2)^2 \\ {(x-x_3)^2+(y-y_3)^2 } = (R \pm r_3)^2 \end{array} $

Когда в Вашей системе все плюсы-окружность Содди,есть ф-ла для радиусаhttp://mathworld.wolfram.com/InnerSoddyCircle.html
Для пяти окружностей решена на этом форуме (уравнение на радиус 4й степени) http://dxdy.ru/topic22769.html

[AKM]

У Вас, по сути, 4 системы уравнений, соответствующих выбору знаков (+++), (++-), (+--), (---). Варианты типа (--+) эквивлентны (++-) с заменой $R$ на $-R$. Каждая система имеет либо 2 действительных решения, либо 0. Четыре системы могут дать 8 решений; как известно, это максимально возможное количество решений задачи Аполллония.

Поднатужившись, можно добавить ситуации, когда одна (две, три) окружности являются прямыми, либо когда таковой является искомая общая касающаяся.

[SVOLOCH]

а может быть кто-то подскажет идеи решения для случаев:
1) 2 пересекающиеся окружности и точка
2) 3 касающиеся друг друга внишним образом окружности
нужно ОПИСАТЬ ПОСТРОЕНИЕ касающейся окружности