Координата центра масс тетраэдра по оси z.

[Хорхе]

VAL в сообщении #238388 писал(а):

Данная задачка вполне может быть решена и без использования интегрального исчисления.
Достаточно заменить два тела (усеченный тетраэдр и отрезанную верхушку) точками, расположенными в центрах масс этих тел, с массами, пропорциональными их объемам. А далее учесть уже приводившийся здесь факт: центр масс тетраэдра отстоит от его основания на четверть высоты.

Повторение -- мать учения

[Ural]

e7e5 в сообщении #238373 писал(а):

Что-то не пойму, к чему эта ссылка.
Вы просто считайте.

1)Чему равен объем очень "низкого" усеченного тетраэдра: $dV=?$
2) Как этот объем связан с $z$?

Давно пробовал этот вариант, но не знал, как представить элементарный объём $dV$.
Дело в том, что я неособо разобрался в свойствах тетраэдра, да запутался: в разных ссылках то одно пропустят, то другое.
Ладно, объём правильного (если я не ошибаюсь, у нас такой дан в условии или не обязательно?) тетраэдра равен $V= \frac {1}{3} SH$, где за $H$ можно взять $z$ и продифференцируем объём как функцию по этой переменной.
$V'_z= (\frac {1}{3} Sz)'$
$\frac {dV_z}{dz}= \frac {1}{3}SH$
$dV= \frac {1}{3} Szdz$
Отсюда объём всего тетраэдра в пределах от $0$ до $h$ (где $h$ - высота тетраэдра, $h=m\sqrt {\frac {2}{3}}$, а $m$ - сторона тетраэдра) равен $V= \frac {1}{3} S\int _0^hzdz=\frac {Sh^2}{6}$.
Центр тяжести тетраэдра равен $z_c=\frac {1}{V}\int _0^h zdV=\frac {1}{V}\int _0^h z\frac {1}{3} Szdz=\frac {1}{3VS}\int _0^h z^2dz=\frac {h^3}{9VS}=[V=\frac {Sh^2}{6}]=\frac {2h}{3S^2}$.

[VAL]

Ural в сообщении #238492 писал(а):

e7e5 в сообщении #238373 писал(а):

Что-то не пойму, к чему эта ссылка.
Вы просто считайте.

1)Чему равен объем очень "низкого" усеченного тетраэдра: $dV=?$
2) Как этот объем связан с $z$?

Давно пробовал этот вариант, но не знал, как представить элементарный объём $dV$.

А чем Вам не понравился способ без интегралов, который я вам уже дважды предлагал?
Сейчас не поленился, потратил три минуты, довел предложенную схему до ответа. Сходится.

[Ural]

VAL в сообщении #238498 писал(а):

Ural в сообщении #238492 писал(а):

e7e5 в сообщении #238373 писал(а):

Что-то не пойму, к чему эта ссылка.
Вы просто считайте.

1)Чему равен объем очень "низкого" усеченного тетраэдра: $dV=?$
2) Как этот объем связан с $z$?

Давно пробовал этот вариант, но не знал, как представить элементарный объём $dV$.

А чем Вам не понравился способ без интегралов, который я вам уже дважды предлагал?
Сейчас не поленился, потратил три минуты, довел предложенную схему до ответа. Сходится.

Мне любой понравился бы: хотел бы и тем и другим, чтобы проверить и понять.
А я пробовал безинтегральным методом, но фигня какая-то получилась - Вы это видели. А может по тому, что я не могу найти нормальную информацию о тетраэдре, чтобы все по полочкам было разложено, а не все в кучу, что ничего не разберешь.
Можно начать с того, какие формулы существуют для тетраэдра.

[e7e5]

Ural в сообщении #238492 писал(а):

Отсюда объём всего тетраэдра в пределах от $0$ до $h$ (где $h$ - высота тетраэдра, $h=m\sqrt {\frac {2}{3}}$, а $m$ - сторона тетраэдра) равен $V= \frac {1}{3} S\int _0^hzdz=\frac {Sh^2}{6}$.

У вас нарушена размерность объема, а у вас площадь умножена на квадрат высоты... Объем ведь в кубических метрах ( или производных от этих единиц) измеряется ( в евклидовой геометрии, 3-х мерный случай).

[VAL]

Ural в сообщении #238499 писал(а):

VAL в сообщении #238498 писал(а):

Ural в сообщении #238492 писал(а):

А чем Вам не понравился способ без интегралов, который я вам уже дважды предлагал?
Сейчас не поленился, потратил три минуты, довел предложенную схему до ответа. Сходится.

Мне любой понравился бы: хотел бы и тем и другим, чтобы проверить и понять.
А я пробовал безинтегральным методом, но фигня какая-то получилась - Вы это видели. А может по тому, что я не могу найти нормальную информацию о тетраэдре, чтобы все по полочкам было разложено, а не все в кучу, что ничего не разберешь.
Можно начать с того, какие формулы существуют для тетраэдра.

Основную (о расположении центра масс тетраэдра на пересечении его медиан) я привел. А что еще? Кроме $V=\frac13SH$, вроде ничего и не надо. Аналог для усеченного тетраэдра ($V=\frac13h(a+\sqrt{ab}+b)$) в принципе знать не надо. Эта формула легко выводится: из рассмотрения подобных треугольников находим $H=\frac{h\sqrt a}{\sqrt a - \sqrt b}$ (высоту тетраэдра до усечения) и $h_1=\frac{h\sqrt b}{\sqrt a - \sqrt b}$ (высоту отрезанной верхушки), а затем берем разность объемов.
Теперь заметим, что центр масс $O$ исходного тетраэдра отстоит от нижнего основания на $\frac H4$, a центр масс отрезанной верхушки отстоит от верхнего основания на $\frac{h_1}4$.
Для решения задачки остается учесть, что точка $O$ делит отрезок $F_1O_1$ ($F$ - искомый центр масс) в отношении обратно пропорциональном объемам соответствующих частей.

[Ural]

Почему Вы рассматриваете разность усеченного тетраэдра и отрезанной верхушки, а не всего тетраэдра и отрезанной верхушки?
Не понятно, как нашли высоту.

[VAL]

Ural в сообщении #238727 писал(а):

Почему Вы рассматриваете разность усеченного тетраэдра и отрезанной верхушки, а не всего тетраэдра и отрезанной верхушки?

С чего Вы это взяли?

Цитата:

Не понятно, как нашли высоту.

Из пропорции: $\frac{H}{\sqrt a}=\frac{H-h}{\sqrt b}$

[Ural]

VAL в сообщении #238750 писал(а):

Ural в [url=http://<UserJS-USH-highlight class="UserJS-USH-highlight" style='background-attachment: scroll; background-repeat: repeat; background-position: 0% 0%; background-color: #ffff66; background-image: none' id="UserJS-USH-0_1">dxdy</UserJS-USH-highlight>.ru/post238727.html#p238727]сообщении #238727[/url] писал(а):

Почему Вы рассматриваете разность усеченного тетраэдра и отрезанной верхушки, а не всего тетраэдра и отрезанной верхушки?

С чего Вы это взяли?

Цитата:

Не понятно, как нашли высоту.

Из пропорции: $\frac{H}{\sqrt a}=\frac{H-h}{\sqrt b}$

Уважаемый, а откуда появились корни-то
Подобие треугольников у нас как происходит, по одному углу при вершине?
Значит $H/m=H-h/n$, где $m,n$ - стороны треуголников при их основаниях, а $H,h$ - высоты восстановленного до первоначальных размеров тетраэдра и усеченного.
Как вы выразили стороны этих треугоников через площади?

[VAL]

Ural в сообщении #238775 писал(а):

Цитата:

Цитата:

Не понятно, как нашли высоту.

Из пропорции: $\frac{H}{\sqrt a}=\frac{H-h}{\sqrt b}$

Уважаемый, а откуда появились корни-то
Подобие треугольников у нас как происходит, по одному углу при вершине?
Значит $H/m=H-h/n$, где $m,n$ - стороны треугольников при их основаниях, а $H,h$ - высоты восстановленного до первоначальных размеров тетраэдра и усеченного.
Как вы выразили стороны этих треугоников через площади?

Никак. Площади подобных фигур относятся как квадраты их одноименных линейных измерений.

Вас все время заносит в какие-то абсолютно не важные для данной задачи частности. Вы постоянно интересуетесь формой тетраэдра, ищете стороны треугольников, какие-то углы. Одним словом, за деревьями не видите леса.

[Ural]

Хорошо, если можно ссылочку на отношение высот к корням из площадей оснований, к которым они опущены, пожалуйста.
Ну а формула-то на другом форуме последняя итогова, кпо которой определяем центр масс правильна?

[VAL]

Ural в сообщении #238786 писал(а):

Хорошо, если можно ссылочку на отношение высот к корням из площадей оснований, к которым они опущены, пожалуйста.

Не понял какую ссылочку Вам надо. Речь об этом соотношении:$\frac{H}{\sqrt a}=\frac{H-h}{\sqrt b}$?
Возможно Вас смутили полученные из него значения $H$ и $h_1$. Дело в том, что при наборе формул в LaTeX'е я слегка переврал и заметил это лишь сейчас. Правильные значения: $H=\frac{h\sqrt a}{\sqrt a - \sqrt b}}, \ h_1=\frac{h\sqrt b}{\sqrt a - \sqrt b}$

Цитата:

Ну а формула-то на другом форуме последняя итогова, кпо которой определяем центр масс правильна?

Как-то мы с Вами странно общаемся. В двух разных местах на одну и ту же тему Сейчас посмотрю.

Посмотрел. Правильная.

[Ural]

Здравствуйте! Согласитесь, что центр массс усеченного тетраэдра определяется по формуле
(1^*) z_c=\frac {z_{c1}V_1-z_{c2}V_2}{V_1-V_2}, где
z_{c1} и z_{c2} - координаты центров тяжести восстановленного до прежних размеров усеченного тетраэдра и тетраэдра, при отбросе которого получился усеченный тетраэдр соответственно;
V_1 и V_2 - объёмы восстановленного до прежних размеров усеченного тетраэдра и тетраэдра, при отбросе которого получился усеченный тетраэдр соответственно.
Находим координаты этих тел по оси z, как z_{c1}=\frac {1}{4}H и z_{c2}=\frac {1}{4}h1, где H и h_1 - высоты восстановленного до прежних размеров усеченного тетраэдра и тетраэдра, при отбросе которого получился усеченный тетраэдр соответственно.
z_{c1}=\frac {1}{4}H=\frac {h\sqrt {a}}{4(\sqrt {a}-\sqrt {b})}
z_{c2}=\frac {1}{4}h_1=\frac {h\sqrt {b}}{4(\sqrt {a}-\sqrt {b})}
V_1=\frac {Ha\sqrt{a}}{3(\sqrt {a}-\sqrt {b})}=\frac {ha^2}{3(\sqrt {a}-\sqrt {b})^2}
V_2=\frac {h_1b\sqrt{b}}{3(\sqrt {a}-\sqrt {b})}=\frac {hb^2}{3(\sqrt {a}-\sqrt {b})^2}

V_1-V_2=\frac {h(a^2-b^2)}{3(\sqrt {a}-\sqrt {b})^2}
Полученные данные подставим в формулу (1^*)
z_c=\frac {z_{c1}V_1-z_{c2}V_2}{V_1-V_2}=\frac {h}{4}\cdot \frac {a^2\sqrt {a}-b^2\sqrt {b}}{(\sqrt {a}-\sqrt {b})(a^2-b^2)}

Так? Только преобразовать до формы ответа пока не получается.

[VAL]

Последний вариант похож на правду. Но не правда.
Искать ошибку лень. Поэтому привожу свое решение (считал на Maple)

> aa:=sqrt(a):bb:=sqrt(b):
H, O, V - высота, центр масс и объем тетраэдра до усечения;
H2, O2, V2 - высота, центр масс и объем отрезанной верхушки;
O1, V1 -  центр масс и объем усеченного тетраэдра;
z1 - искомое расстояние от O1 до нижнего основания.
Ключевое соотношение: OO1*V1 = OO2*V. 
> H:=h*aa/(aa-bb);h2:=h*bb/(aa-bb);

                                     1/2
                                  h a
                           H := -----------
                                 1/2    1/2
                                a    - b


                                     1/2
                                  h b
                          h2 := -----------
                                 1/2    1/2
                                a    - b

> V:=H/3*a;V2:=h2/3*b;V1:=simplify(V-V2);

                                     3/2
                                  h a
                         V := ---------------
                                  1/2    1/2
                              3 (a    - b   )


                                     3/2
                                  h b
                        V2 := ---------------
                                  1/2    1/2
                              3 (a    - b   )


                                     1/2  1/2
                           (a + b + a    b   ) h
                     V1 := ---------------------
                                     3

> OO2:=simplify(h+h2/4-H/4);

                                     3 h
                              OO2 := ---
                                      4

> OO1:=OO2*V2/V1;

                                       3/2
                                  3 h b
              OO1 := -----------------------------------
                         1/2    1/2            1/2  1/2
                     4 (a    - b   ) (a + b + a    b   )

> z1:=simplify(H/4-OO1);

                      (3/2)      1/2    1/2        (3/2)
                  h (a      + b a    + b    a - 3 b     )
            z1 := ---------------------------------------
                        1/2    1/2            1/2  1/2
                    4 (a    - b   ) (a + b + a    b   )

После сокращения на  a^(1/2)-b^(1/2); получается формула из ответа.

[Ural]

Это еще зачем же ищется объём усеченного тетраэдра. Нам же только достаточно найти параметры тетраэдра до усечения и отрезанной верхушки. Вот это мне больше всего непонятно. Вы можете проверить формулу $(1^*)$, я же по ней выводил, да и в теории так находится центр масс тела.