Борелевские множества и центральные моменты

[Annette]

I $\eta(\omega)= \Psi(\xi_1,\xi_2, ..., \xi_n)$ - измеримая функция, $\Psi(x_1,x_2, ..., x_n) : R^n$ ->R; $ \xi_1,\xi_2, ..., \xi_n - одномерные случ. величины, имхо)
для любого борелевского множества $\beta$ :
подскажите как док-ть, что
{$\omega : \eta(\omega)\in \beta$} = {$\omega : (\xi_1,\xi_2, ..., \xi_n)\in \beta^n$}, где $\beta^n$ ={$(x_1,x_2, ..., x_n) : \Psi(x_1,x_2, ..., x_n)\in\beta$}
Вроде бы очевидно достаточно, но в лекциях написано док-ть.....
II Когда распределение случ величины симметрично относительно ее мат ожидания, то центральные моменты нечетного порядка (если существуют) равны нулю. Обосновать.
понятно, что нужно действовать ч/з определение мат ожидания для непр случ величины, но как?!

[Хорхе]

Первое действительно очевидно.

Во втором непрерывность необязательна, достаточно существования момента.
Симметричность относительно $\mu$ означает, что распределения $\xi$ и $2\mu-\xi$ совпадают.
Это значит, что $E[f(\xi)]= E[f(2\mu-\xi)]$. Осталось подобрать функцию $f$

[Annette]

Что означает операция $E[..]$?

Насчет первого: да вот и я о том же, куда уж очевиднее, только вот лектор заострил вниманее (то есть настоял на том, чтобы мы записали, доказать самостоятельно!!!) Доказательство походу дела будет заключаться в следующем : да, ептъ, это ж очевидно.....

[Хорхе]

Annette в сообщении #238607 писал(а):

Что означает операция $E[..]$?

Взяние матожидания, а Вы что подумали?

[Annette]

Я бы операцию взятия мат ожидание обозначила ч/з M[..], но это ничего не меняет; может быть совпадают распределения $M(\xi) +\xi$ и $M(\xi)-\xi$ ?

[Хорхе]

Annette в сообщении #238632 писал(а):

Я бы операцию взятия мат ожидание обозначила ч/з M[..], но это ничего не меняет; может быть совпадают распределения $M(\xi) +\xi$ и $M(\xi)-\xi$ ?

Нет, с чего бы это?

Вот, например, раз распределения $\xi$ и $2\mu - \xi$ совпадают, то можно отнять $\mu$, то есть
распределения $\xi-\mu$ и $\mu - \xi$ совпадают.

[AD]

Хорхе в сообщении #238637 писал(а):

Я бы операцию взятия мат ожидание обозначила ч/з M[..],

Слышал мнение, что М - это в Москве принято, а Е - в Петербурге

[IE]

M - от mean, мне встречалось в старых изданиях Ширяева, E - от expectation, и в новом Ширяеве уже используется E.