(тригонометрия) Наверное элементарщина, но...

[dnoskov]

... я за два дня разобраться не смог.
Вот расклад:
Задача 15.24 (А.Г. Мордкович: Алгебра и начала анализа - 10 класс. Профильный уровень):

Цитата:

Использовав равнобедренный треугольник с углом $36^\circ$ при вершине, вычислите $\sin 18^\circ$, $\cos 18^\circ$, $\sin 36^\circ$, $\cos 36^\circ$.
Указание. Проведите биссектрису одного из углов основания

Вот что у меня получается:

1. Дано: $\triangle ABC, AB=BC, \angle B=36^\circ$, бисектрисса $AD$ делит угол основания $\angle A$ пополам.
2. Биссектриса $AD$ образует $ \triangle CAD\sim\triangle ABC$
3. $AC=a, AB=BC=b, \angle B=\alpha$
   
   
   
   Ну, и, собственно, рассуждение:
4. Проведём единичную числовую окружность с центром в точке $A$ и проходящую через $C$, т.о. $a=AD=1, \angle CAD=\alpha=36^\circ=\frac{\pi}{5}$
5. По теореме косинусов: $a^2=b^2+b^2-2b^2\cos\alpha\Rightarrow\cos\alpha=\frac{2b^2-a^2}{2b^2}\Rightarrow\cos\alpha=1-\frac{1}{2b^2}$
6. По теореме синусов:
   $$\frac{b}{\sin\angle DCA}=\frac{a}{\sin\alpha}\Rightarrow b=\frac{\sin\angle DCA}{\sin\alpha},$$
   С учётом того, что $\alpha=36^\circ=\frac{\pi}{5}, b=\frac{\sin\frac{2\pi}{5}}{\sin\frac{\pi}{5}}$
7. Далее, я естественно, полагаю, что я не смогу найти $\cos\alpha$, выражая его через $\sin\alpha$, и моя мысль (измождённая поисками за два дня) обрывается.

Ну вот, собстно, и вопрос: Дайте нить путеводную, а то я совсем запутался (пришлось вспомнить существенную часть школьной геометрии, ища ответы на всякие превсякие вопросы вроде: "А как биссектриса делит сторону, на которую падает?" и другие в таком духе, за два дня. Поэтому в голове лёгкая каша.)

[vvvv]

Из Вашего рисунка следует BD=AD=AC. Положим BD=AD=AC=1, тогда b=2*sin 54=2*cos36. Далее все просто

[Архипов]

Коротко говоря - использовать кратность угла (90/18=5)
и формулы функций двойного, половинного, дополнительного углов. Можно рисунок вовсе не использовать.

[vvvv]

Рисунок требуется по условию задачи

[ShMaxG]

dnoskov
А Вы используйте вот эти 4 вещи:

1) $\[ \cos \alpha = 1 - \frac{1} {{2b^2 }} \] $ (геометрия - раз)
2) $\[ \angle BCA = 2\alpha \] $, поэтому $\[ b = 2\cos \alpha \] $ (используем особенность угла $\[ \alpha \]$ - два)
3) $\[ \cos 3\alpha = 4\cos ^3 \alpha - 3\cos \alpha \]$ - (тригонометрическая формула - три)
4) и еще одна особенность альфы - $\[ 3\alpha = 180^ \circ - 2\alpha \] $ - четыре.

Получите квадратное уравнение относительно косинуса альфы. Ну а оттуда по формулам двойных углов и до 18 градусов доберетесь.


P.S.

Находить эти синусы и косинусы можно действительно без геометрии, достаточно составить систему:

$\[ \left\{ \begin{gathered} \sin 18^ \circ \cos 36^ \circ = \frac{1} {4} \hfill \\ \cos 36^ \circ - \sin 18^ \circ = \frac{1} {2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \]$.

-- Пн авг 24, 2009 17:43:40 --

А вот как можно придти к этой системы из геометрии. Проводите высоту из точки $B$ на $AC$. И запишите определение $\[\sin \frac{\alpha }{2}\]$, учитывая $\[b = 2\cos \alpha \]$. Затем, используйте формулу для произведения синуса на косинус:
$\[ \sin x\cos y = \frac{1} {2}\left[ {\sin \left( {x + y} \right) + \sin \left( {x - y} \right)} \right] \]$. Ну а $\[ \sin 54^ \circ = \cos 36^ \circ = \cos \alpha \]$.

[dnoskov]

Я дико извиняюсь, но я позабыл привести ещё одно ограничение.

Формулы тригонометрических преобразований проходятся в учебнике только через ещё одну главу, так что, насколько я понимаю, предполагается, что эта задача должна быть решена без применения формул функций кратных углов (а также без формул сумм и произведений функций, сумм аргументов). То, что доступно по материалу текущей главы учебника, это:
$\sin^2x+\cos^2x=1, 1+\tg^2x=\frac{1}{\cos^2x}, 1+\ctg^2x=\frac{1}{\sin^2x}, \tg x\cdot\ctg x=1$...

ну и $\sin(\alpha+\pi)=-\sin\alpha, \cos(\alpha+\pi)=\cos\alpha$ и про тангенс и котангенс соответственно

[vvvv]

dnoskov, смотрите мое предыдущее сообщение, там все эти условия соблюдены.

[dnoskov]

vvvv
У меня получается другой тупик, если я подставляю $2\cos^2 36^\circ$ вместо $b^2$
(хотя сам тот факт, что $b=2\cdot\cos 36^\circ=2\cdot\sin 54^\circ$ был для меня новым (т.е. применять я его не пробовал потому что... ну... вобщем в первом сообщении написано почему)):
$\cos 36^\circ=1-\frac{1}{2b^2}=1-\frac{1}{2\cdot 4\cos^2 36^\circ}=1-\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{\cos^2 36^\circ}=1-\frac{1}{8}\cdot(1+\tg^2 36^\circ)$

Далее мои мысли таковы:
Обзовём высоту $\triangle BDA$ - $DE$, тогда $DE=\sin 36^\circ$
т.к. $b$ можно определить как через косинус, так и через синус $36^\circ$, то c $\sin 36^\circ$ получается та же (или почти та же) история, что и с $\cos 36^\circ$.
За сим приходится уповать на определение тангенса не через $\sin$ или $\cos$, чего мой скудный мозг сообразить никак не может.

ЗЫ. -А вообще-то, - подумал я, - может быть здеся какой-нить хитроумный аналитический способ предполагается, а?

[vvvv]

Можно так.

[dnoskov]

Дааа, теперь я слёту за такие задачки браться не буду.

Однако, в твоём решении всё ясно. Спасибо.

ЗЫ. Ещё один короткий вопросик:

В том же задачнике приводится такая задача:

Цитата:

Использовав геометрические соображения, вычислите:
$\sin 15^\circ$, ну и т.д.

Каким может быть подход в этой задаче? (здесь-то даже треугольника не дали )

[Sasha2]

Не знаю зачем такие задачи дают, если 15=45-30 само напрашивается.

[ShMaxG]

dnoskov
Ну если надо было считать синус 18 градусов - вы рисовали треугольник с углом при вершине в 36 градусов... А если надо посчитать сиснус 15 градусов, то рисуйте треугольник с углом при вершине в 30 градусов. Там можете наткнуться на $\[\operatorname{tg} 60^ \circ \]$, но он вычисляется из тех же геометрических соображений, из прямоугольного треугольника.

[gris]

Решил вставить словечко по поводу первоначальной задачи. Если провести в треугольнике ещё и высоты, то можно обойтись подобием треугольников, свойством биссектрисы и определением синуса и косинуса как отношения катетов к гипотенузе.