Координата центра масс тетраэдра по оси z.

[Ural]

Привет,прошу вашей помощи (объясните, целый час мучался), чтобы найти координату центра масс усеченного однородного тетраэдра, если даны площади при большом и меньшем основании - $a$ и $b$ соответственно, а так же расстояние между этими основаниями - высота $h$.
Мои наметки: найти координату центра тяжести через разность неусеченного тетраэдра и того, который отбросили при сечении.

[Хорхе]

Так а чем наметки плохие? Только "разность" надо понимать в подходящем смысле, во взвешенном.

[Ural]

Хорхе в сообщении #237946 писал(а):

Так а чем наметки плохие? Только "разность" надо понимать в подходящем смысле, во взвешенном.

$x_c=\frac {x_{c_1}\cdot V_1-x_{c_2}\cdot V_2}{V_1-V_2}$, где $x_{c_1}$, $x_{c_2}$ - координаты центра масс неусеченного однородного тетраэдра и отброшенного при его сечении, когда образуется усеченный тетраэдр с основаниями, площади которых известны (большая - $a$, а маленькая - $b$), $V_1$ и $V_2$ - объемы неурезанного тетраэдра и отброшенного при его сечении.
Трудновато найти координаты центров масс этих тетраэдров и т.д.

[VAL]

Ural в сообщении #238015 писал(а):

Трудновато найти координаты центров масс этих тетраэдров и т.д.

Центр масс любого тетраэдра есть точка пересечения его медиан (отрезков, соединящих вершины тетраэдра с центрами тяжести противоположных граней). Медианы делятся этой точкой в отношении 3:1, считая от вершины.
Это соображение сразу же дает ответ на интересующий Вас вопрос.

[Хорхе]

А я хотел наводку написать...
Вроде того, что центр масс тетраэдра там же, где центр масс системы масс в его вершинах. Одна гиря вверху, три внизу... В итоге 3:1, как нас в школе учили, точно.

[Ural]

Здравствуйте!
Хорхе, можем мы с Вами вывести объём тетраэдра (а может сначала обыкновенного тетраэдра, а потом однородного, ну ладно, с чего удобнее, чтобы понять откуда и что берется) в следующем смысле. Вы даёте мне подсказки, а я попытаюсь напрячь свой мозг ?
Затем можно перейти к выводу того, что центр тяжести тетраэдра получается пересечением медиан этого тела.

[Хорхе]

Да ладно, что уж там выводить.

Во-первых, по принципу Кавальери, объем тетраэдра = объему любого конического тела с той же площадью основания и той же высотой. В частности, он равен объему четырехугольной пирамиды. Во-вторых, этот объем, снова в силу принципа Кавальери, пропорционален площади основания. В-третьих, объемы подобных тел соотносятся как куб коэффициента подобия (откуда объем конического тела пропорционален высоте). Вот теперь составьте из одинаковых четырехугольных пирамид единичный куб и отсюда получите формулу.

Есть способ проще - погуглить и найти формулу

[ewert]

Ural в сообщении #238145 писал(а):

Хорхе, можем мы с Вами вывести объём тетраэдра (а может сначала обыкновенного тетраэдра, а потом однородного, ну ладно, с чего удобнее, чтобы понять откуда и что берется) в следующем смысле. Вы даёте мне подсказки,

Я хоть и не Хорхе, но подсказку дам: какое отношение объём тетраэдра имеет к его "однородности"?... и даже к "обыкновенности"?...

[Ural]

Хорхе в сообщении #238150 писал(а):

Да ладно, что уж там выводить.

Во-первых, по принципу Кавальери, объем тетраэдра = объему любого конического тела с той же площадью основания и той же высотой. В частности, он равен объему четырехугольной пирамиды. Во-вторых, этот объем, снова в силу принципа Кавальери, пропорционален площади основания. В-третьих, объемы подобных тел соотносятся как куб коэффициента подобия (откуда объем конического тела пропорционален высоте). Вот теперь составьте из одинаковых четырехугольных пирамид единичный куб и отсюда получите формулу.

Есть способ проще - погуглить и найти формулу [/qu

ewert в сообщении #238168 писал(а):

Ural в сообщении #238145 писал(а):

Хорхе, можем мы с Вами вывести объём тетраэдра (а может сначала обыкновенного тетраэдра, а потом однородного, ну ладно, с чего удобнее, чтобы понять откуда и что берется) в следующем смысле. Вы даёте мне подсказки,

Я хоть и не Хорхе, но подсказку дам: какое отношение объём тетраэдра имеет к его "однородности"?... и даже к "обыкновенности"?...

Однородный тетраэдр, как я уяснил - это тело, образованное четыремя правильными треугольниками с общими вершинами. Тоесть однородный тетраэдр называется по-другому правильным.
Я, согласно выше выложенному мною ходу решения, попытался найти центр тяжести, но с ответом не сошлось.

-- Ср авг 26, 2009 21:14:12 --

Ural в сообщении #238015 писал(а):

Хорхе в сообщении #237946 писал(а):

Так а чем наметки плохие? Только "разность" надо понимать в подходящем смысле, во взвешенном.

$z_c=\frac {z_{c_1}\cdot V_1-z_{c_2}\cdot V_2}{V_1-V_2}$, где $z_{c_1}$, $z_{c_2}$ - координаты центра масс по оси $z$ неусеченного однородного тетраэдра и отброшенного при его сечении, когда образуется усеченный тетраэдр с основаниями, площади которых известны (большая - $a$, а маленькая - $b$), $V_1$ и $V_2$ - объемы неурезанного тетраэдра и отброшенного при его сечении.
Трудновато найти координаты центров масс этих тетраэдров и т.д.

С ответом не сошлось (может требуется преобразование), но получилось вот что: $z_c=\frac {4 \sqrt {2}/3^{7/ 4}(a^2-b^2/2)-hb\sqrt {b}}{a\sqrt {a}-b\sqrt {b}}$

[VAL]

Ural в сообщении #238200 писал(а):

Однородный тетраэдр, как я уяснил - это тело, образованное четыремя правильными треугольниками с общими вершинами. Тоесть однородный тетраэдр называется по-другому правильным.

Непрвильно уяснили.
Однородность означает "равномерность плотности", если можно так выразиться. В противном случае данных задачи было бы слишком мало для нахождения решения.
А вот правильность тетраэдра (или ее отсутствие( никоим образом не влияет на ответ.

Цитата:

С ответом не сошлось (может требуется преобразование), но получилось вот что: $z_c=\frac {4 \sqrt {2}/3^{7/ 4}(a^2-b^2/2)-hb\sqrt {b}}{a\sqrt {a}-b\sqrt {b}}$

Очень странный ответ! У Вас в числителе только одно слагаемое от h зависит.

[e7e5]

Ответ, вроде правильный в задачнике.
Подсказка: ц.м. лежит на прямой, соединяющей центры тяжести оснований.

Далее. Выберите систему координат так, чтобы начало отсчета совпадало с ц.м. основания и ось координат $z$ была направлена к ц.м. верхнего основания.

Чтобы найти ц.м., разбиваем усеченный тетраэдр на бесконечное число маленьких усеченных тетраэдров высотой $dz$

Масса каждого равна $dm=\rho dV$
Далее нужно выполнить интегрирования с пределами от $0$ до $h$ для формулы определяющей положение ц.м. в интегральной форме ( т.е. суммирование "заменяется" интегрированием - т.е. как бы от локальной геометрии переходим к интегральному виду).

[Хорхе]

Ural в сообщении #238200 писал(а):

С ответом не сошлось (может требуется преобразование), но получилось вот что: $z_c=\frac {4 \sqrt {2}/3^{7/ 4}(a^2-b^2/2)-hb\sqrt {b}}{a\sqrt {a}-b\sqrt {b}}$

Не понимаю, откуда может взяться столь странная константа --- $4 \sqrt {2}/3^{7/ 4}$.

[Ural]

VAL в сообщении #238299 писал(а):

Непрвильно уяснили.
Однородность означает "равномерность плотности", если можно так выразиться. В противном случае данных задачи было бы слишком мало для нахождения решения.

То что плотность тела в каждой точке одинакова - это понятно. Но я нашёл одну страничку http://wenninger.narod.ru/uniform.html.

[e7e5]

Что-то не пойму, к чему эта ссылка.
Вы просто считайте.

1)Чему равен объем очень "низкого" усеченного тетраэдра: $dV=?$
2) Как этот объем связан с $z$?

Например, если бы у вас был не тетраэдр, а конус:

1) $dV= \pi r^2 dz$
2) Очень маленький слой $dz$ конуса есть почти цилиндр, поэтому
$r/z=R/z$, здесь $R$ - радиус основания конуса. Понятно? По аналогии напишите для тетраэдра.

[VAL]

e7e5 в сообщении #238305 писал(а):

Ответ, вроде правильный в задачнике.
Подсказка: ц.м. лежит на прямой, соединяющей центры тяжести оснований.

Далее. Выберите систему координат так, чтобы начало отсчета совпадало с ц.м. основания и ось координат $z$ была направлена к ц.м. верхнего основания.

Чтобы найти ц.м., разбиваем усеченный тетраэдр на бесконечное число маленьких усеченных тетраэдров высотой $dz$

Масса каждого равна $dm=\rho dV$
Далее нужно выполнить интегрирования с пределами от $0$ до $h$ для формулы определяющей положение ц.м. в интегральной форме ( т.е. суммирование "заменяется" интегрированием - т.е. как бы от локальной геометрии переходим к интегральному виду).

Данная задачка вполне может быть решена и без использования интегрального исчисления.
Достаточно заменить два тела (усеченный тетраэдр и отрезанную верхушку) точками, расположенными в центрах масс этих тел, с массами, пропорциональными их объемам. А далее учесть уже приводившийся здесь факт: центр масс тетраэдра отстоит от его основания на четверть высоты.

-- 27 авг 2009, 11:00 --

Ural в сообщении #238370 писал(а):

VAL в сообщении #238299 писал(а):

Непрвильно уяснили.
Однородность означает "равномерность плотности", если можно так выразиться. В противном случае данных задачи было бы слишком мало для нахождения решения.

То что плотность тела в каждой точке одинакова - это понятно. Но я нашёл одну страничку http://wenninger.narod.ru/uniform.html.

С терминологией, используемой в этой книжке не знаком. Она, мягко говоря, не общепринята.

-- 27 авг 2009, 11:01 --

Хорхе в сообщении #238335 писал(а):

Не понимаю, откуда может взяться столь странная константа --- $4 \sqrt {2}/3^{7/ 4}$.

Меня тоже испугал этот монстр.