Сколько яблок осталось?

[Droog_Andrey]

Delvistar в сообщении #237508 писал(а):

Можно ли подобным образом, съесть все яблоки

Можно. Например, если число яблок в очередной кучке равно очередному простому числу.

Но при этом, конечно же, для съедания всех яблок потребуется бесконечно большое время и бесконечно много едоков. Яблоки будут съедены в том смысле, что для любого сколь угодно малого положительного $\varepsilon$ рано или поздно наступит момент времени, когда доля оставшихся яблок будет составлять менее $\varepsilon$ от первоначального числа.

[gris]

Droog_Andrey, и Вы туда же!
Что такое доля оставшихся яблок? Их общее количество бесконечно и количество оставшихся бесконечно в любой момент времени. Или Вы правило Лопиталя собираетесь применять для неопределённости $\frac {\infty}{\infty} ?$

[Droog_Andrey]

gris в сообщении #237921 писал(а):

Что такое доля оставшихся яблок?

Пронумеруем исходные яблоки натуральными числами так, чтобы впоследствии кучки отсчитывались по возрастанию номера.

Тогда доля оставшихся яблок - предел отношения количества оставшихся яблок с номером, меньшим $N$, к числу $N$, при бесконечном возрастании $N$.

[ewert]

Droog_Andrey в сообщении #237927 писал(а):

доля оставшихся яблок - предел отношения количества оставшихся яблок с номером, меньшим $N$, к числу $N$, при бесконечном возрастании $N$.

Бесполезно и бессмысленно. Если этот предел и существует (что вовсе не факт), то он зависит от способа нумерации на предыдущем шаге. А она -- ничем не фиксирована.

[Виктор Викторов]

gris в сообщении #237909 писал(а):

Виктор Викторов, не любите Вы детей! Фруктов Вам жалко. Да пусть едят всё!

Из фруктов врачи мне дозволяют есть только зелёные яблоки. Поэтому я не могу и не хочу всё отдавать детям.

gris в сообщении #237909 писал(а):

А как тогда по Вашему съест свою порцию шахтёр Вася? За один присест, что ли? А не треснет ли у него жевательный аппарат? А если он будет есть последовательно, то до бурильщика Пети дело не дойдёт.

Так дело не пойдёт. По условию задачи официантка Василиса заглатывает счётное множество яблок мгновенно [возьмем из каждого множества по элементу]. Поэтому девочке Пете далеко уходить не следует. Что же касается «если он будет есть последовательно», то они (эти детки) подходят к столу последовательно каждый из них съедает счётное множество яблок, оставляя при этом счётное множество остальным.

AGu в сообщении #237911 писал(а):

gris в сообщении #237529 писал(а):

можно говорить о доле съеденных яблок из первых $N$ после $M$ подходов участников жрачки. И рассмотреть предел этой доли при различной организации процесса и стремлении $N$ и $M$ к бесконечности.

Действительно, можно говорить. И можно рассмотреть. И числовые пределы могут существовать. И разными они могут получиться.

Не понимаю. После первого же «подхода» съедено счётное множество яблок. Какие тут доли? В долю не пойду!

gris в сообщении #237909 писал(а):

Я понимаю предел как предел последовательности, состоящей из частных отношений количества съеденных яблок к количеству "просмотренных". Но этот предел не имеет смысла.

Множество съеденных яблок одним троглодитом всегда счётное множество. Что Вы понимаете под "просмотренных" для меня секрет. А вот рассмотреть пересечение всех вложенных множеств интересно. Итак что там в пересечении?

[Droog_Andrey]

ewert в сообщении #237932 писал(а):

Бесполезно и бессмысленно.

Ну это кто какой смысл видит.

ewert в сообщении #237932 писал(а):

Если этот предел и существует (что вовсе не факт), то он зависит от способа нумерации на предыдущем шаге. А она -- ничем не фиксирована.

Во-первых, я указал способ нумерации. Во-вторых, предел существует в указанном мной решении.

[Виктор Викторов]

Droog_Andrey в сообщении #237927 писал(а):

gris в сообщении #237921 писал(а):

Что такое доля оставшихся яблок?

Пронумеруем исходные яблоки натуральными числами так, чтобы впоследствии кучки отсчитывались по возрастанию номера.

Тогда доля оставшихся яблок - предел отношения количества оставшихся яблок с номером, меньшим $N$, к числу $N$, при бесконечном возрастании $N$.

Зачем так сложно? Ваш предел это просто количество яблок в каждой кучке (множестве) после каждого едока. Например, перед первым мальчиком поставили счётное множество кучек (множеств) по пять яблок в каждой. Он взял по одному из каждой кучки. Осталось четыре. И Ваш предел в этом случае четыре. Зачем рассматривать предел когда просто можно отнять один от пяти?

Вот Вам другая проблема. Но перед ней один пример. Так называемый фильтр Фреше. Рассмотрим совокупность всех дополнений натурального ряда до конечных подмножеств натуральных чисел. Например, одно из таких множеств {1, 3, 4, 7, 8, …}. Очевидно, что совокупность всех таких подмножеств является центрированной системой (пересечение любой конечной подсистемы непустое множество), но пересечение всей совокупности пустое множество.
Теперь держа этот пример в голове, вернемся к нашей задаче и рассмотрим пересечение всех подмножеств яблок имеющих место быть после каждого съедения. Очевидно, что это совокупность убывающих по вложению подмножеств.
Теперь введём кое-какие дополнительные условия. Во-первых, когда мы готовим первый стол с кучками (стол, кстати, бесконечной длины), то дополнительно к номеру одно яблоко в каждой кучке покрасим в зелёный цвет. И запретим всем едящим это яблоко трогать. Кучки же пронумеруем раз и навсегда. Каждый раз при каждом переформировании кучек каждое зелёное яблоко каждой кучки в ней же и остаётся. Тогда очевидно, что все зелёные яблоки принадлежат пересечению. Но разве только они? Повторим процедуру и в дополнение к зелёным яблокам точно также покрасим ещё по одному яблоку в красный цвет. Но тогда и все красные яблоки тоже принадлежат пересечению. Что ещё в этом пересечении?
А теперь если рассмотреть просто раз и навсегда занумерованное множество яблок. Также раз и навсегда занумеруем множество кучек и договоримся, что при всех операциях номера всегда идут по возрастанию (после первого поедания кучки сделали по восемь яблок, но в каждой последующей кучке номера больше чем в предыдущей) и едоки берут каждый раз в каждой кучке яблоко с меньшим номером. Что нас ждёт в пересечении теперь? А ведь получается пустое множество.

[Droog_Andrey]

Виктор Викторов в сообщении #238014 писал(а):

Зачем так сложно? Ваш предел это просто количество яблок в каждой кучке (множестве) после каждого едока. Например, перед первым мальчиком поставили счётное множество кучек (множеств) по пять яблок в каждой. Он взял по одному из каждой кучки. Осталось четыре. И Ваш предел в этом случае четыре. Зачем рассматривать предел когда просто можно отнять один от пяти?

Предел - для математической строгости. И в описанном Вами случае он равен $\frac45$, а вовсе не 4.

[AGu]

Виктор Викторов в сообщении #237990 писал(а):

AGu в сообщении #237911 писал(а):

gris в сообщении #237529 писал(а):

можно говорить о доле съеденных яблок из первых $N$ после $M$ подходов участников жрачки. И рассмотреть предел этой доли при различной организации процесса и стремлении $N$ и $M$ к бесконечности.

Действительно, можно говорить. И можно рассмотреть. И числовые пределы могут существовать. И разными они могут получиться.

Не понимаю. После первого же «подхода» съедено счётное множество яблок. Какие тут доли?

Да, но там ведь написано «из первых $N$». После первого подхода съедено конечное число $E$ яблок из первых $N$. Вот и доля съеденная: $E/N$.

P.S. Из последующих постов увидел, что недоразумение, кажись, уже устранено.

[gris]

Виктор Викторов в сообщении #238014 писал(а):

...дополнений натурального ряда до конечных подмножеств натуральных чисел.

???

[AGu]

Виктор Викторов в сообщении #238014 писал(а):

дополнений натурального ряда до конечных подмножеств натуральных чисел

Наверное, наоборот — «дополнений конечных подмножеств натуральных чисел до натурального ряда».

P.S. Черт, опять я торможу с прочтением:

gris в сообщении #238062 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #238014 писал(а):

...дополнений натурального ряда до конечных подмножеств натуральных чисел.

???

[Батороев]

Похоже, что ряд съедаемых яблок:

$$ \dfrac{1}{5}; \dfrac{1}{8}; \dfrac{1}{11}; \dfrac{1}{14}; \dfrac{1}{17}... $$

Тогда доля оставшихся яблок будет описываться бесконечной дробью:

$$ \dfrac { 4\cdot 7\cdot 10\cdot 13\cdot 16\cdot 19\cdot 22...(\sqrt N-1)}{5\cdot 8\cdot 11\cdot 14\cdot 17\cdot 20\cdot 23...\sqrt N }$$

что несомненно является более щадящим режимом, чем то поедание, с которым пожирают яблоки:
Джон - каждое второе, Джейн - каждое третье из оставшихся, Майкл - каждое четвертое из оставшихся после Джейн и т.д.,
т.к. у тех в остатке:

$$ \dfrac {1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7...(\sqrt N-1)}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8...\sqrt N} = \dfrac {1}{\sqrt N} $$

что при общем бесконечном количестве яблок также стремится к бесконечности.

-- Ср авг 26, 2009 15:37:20 --

И даже при конечном количестве яблок съесть их все невозможно.
Например, в случае с Джоном, Джейн, Майклом и т.д. в тот момент, когда останется $\sqrt N$ яблок, среди них не будет $(\sqrt N +1)$ -го яблока.

[Виктор Викторов]

AGu в сообщении #238069 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #238014 писал(а):

дополнений натурального ряда до конечных подмножеств натуральных чисел

Наверное, наоборот — «дополнений конечных подмножеств натуральных чисел до натурального ряда».

P.S. Черт, опять я торможу с прочтением:

gris в сообщении #238062 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #238014 писал(а):

...дополнений натурального ряда до конечных подмножеств натуральных чисел.

???

Возьмем множество натуральных чисел, тогда дополнения ко всевозможным его конечным подмножествам образуют фильтр.

-- Ср авг 26, 2009 07:12:45 --

Droog_Andrey в сообщении #238030 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #238014 писал(а):

Зачем так сложно? Ваш предел это просто количество яблок в каждой кучке (множестве) после каждого едока. Например, перед первым мальчиком поставили счётное множество кучек (множеств) по пять яблок в каждой. Он взял по одному из каждой кучки. Осталось четыре. И Ваш предел в этом случае четыре. Зачем рассматривать предел, когда просто можно отнять один от пяти?

Предел - для математической строгости. И в описанном Вами случае он равен $\frac45$, а вовсе не 4.

Возьмем Ваши условия:

Droog_Andrey в сообщении #237927 писал(а):

gris в сообщении #237921 писал(а):

Что такое доля оставшихся яблок?

Пронумеруем исходные яблоки натуральными числами так, чтобы впоследствии кучки отсчитывались по возрастанию номера.

Тогда доля оставшихся яблок - предел отношения количества оставшихся яблок с номером, меньшим $N$, к числу $N$, при бесконечном возрастании $N$.

После первого поедания в первых $N-1$ множествах (кучках) осталось $4*(N-1)$ яблок. Следуя Вашим условиям, поделите на $N$ и возьмите предел при $N$ стремящимся к бесконечности. Каков результат?

-- Ср авг 26, 2009 07:47:28 --

Виктор Викторов в сообщении #237990 писал(а):

AGu в сообщении #237911 писал(а):

gris в сообщении #237529 писал(а):

можно говорить о доле съеденных яблок из первых $N$ после $M$ подходов участников жрачки. И рассмотреть предел этой доли при различной организации процесса и стремлении $N$ и $M$ к бесконечности.

Действительно, можно говорить. И можно рассмотреть. И числовые пределы могут существовать. И разными они могут получиться.

Не понимаю. После первого же «подхода» съедено счётное множество яблок. Какие тут доли?

AGu в сообщении #238045 писал(а):

Да, но там ведь написано «из первых $N$». После первого подхода съедено конечное число $E$ яблок из первых $N$. Вот и доля съеденная: $E/N$.

P.S. Из последующих постов увидел, что недоразумение, кажись, уже устранено.

Уважаемый AGu! Дошло до меня какая наша доля. Но мне начинает казаться, что мы пытаемся скрестить лошадь с верблюдом и подсчитать количество горбов у плода этой несчастной любви.

[Droog_Andrey]

Виктор Викторов в сообщении #238123 писал(а):

После первого поедания в первых $N-1$ множествах (кучках) осталось $4*(N-1)$ яблок. Следуя Вашим условиям, поделите на $N$ и возьмите предел при $N$ стремящимся к бесконечности. Каков результат?

Мы нумеруем яблоки, а не кучки.

Внимательнее читайте сообщения.

[Виктор Викторов]

Droog_Andrey в сообщении #238189 писал(а):

Мы нумеруем яблоки, а не кучки.

С арифметикой у Вас лучше, чем у меня. Я действительно оказался не слишком внимателен. А вот необходимость этой предельной операции (как и все обсуждаемые конечные выверты) для меня весьма сомнительны. Вы берёте количество яблок в каждой кучке: вычитаете, делите, складываете. Ну и что? Смысл, по-моему, в другом: что можно проделать со счётными множествами. Т. е. в теореме: Счетная совокупность счётных множеств счётна.