Разложение многочлена на множители

[Mitrius_Math]

Нужно решить уравнение $x^4+6x^3+9x^2+100=0$ и разложить его левую часть на множители с действительными коэффициентами. Если у него имеются целые корни, то они находятся среди делителей свободного члена: $\pm1$; $\pm2$; $\pm5$; $\pm10$; $\pm20$; $\pm25$; $\pm50$; $\pm100$. Дабы не заниматься тупым рассчётами, я сделал графическую интерпретацию, построил в декартовой системе координат графики функций $f(x)=x^2+6x+9$ и $g(x)=\frac{-100}{x^2}$. Оказалось, что они не имеют точек пересечения. Значит, вещественных корней у исходного уравнения нет. Я решил применить метод неопределённых коэффициентов:
$x^4+6x^3+9x^2+100=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)$
$x^4+6x^3+9x^2+100=x^4+(a+c)x^3+(b+ac+d)x^2+(bc+ad)x+bd$.
Приравнивая коэффициенты слева и справа, получаем систему уравнений:
$ \left\{ \begin{array}{l} a+c=6,\\ b+ac+d=9,\\ bc+ad=0,\\ bd=100, \end{array} \right. $
Но решить её ничуть не проще, чем исходное уравнение. Подскажите, пожалуйста, как быть в таком случае?

[gris]

Попробуйте подстановку $x=y-1.5$

[Mitrius_Math]

gris в сообщении #237854 писал(а):

Попробуйте подстановку $x=y-1.5$

Gris, весьма признателен. После предложенной Вами подстановки уравнение сводится к биквадратному относительно переменной $y$. Подстановка $y^2=t$ превращает его в квадратное относительно $t$, дискриминант отрицательный, и в итоге получается две пары комплексно сопряжённых корней. Дальше, как говорится, дело техники...
Как Вы догадались, что здесь нужна именно такая замена переменной? Нет ли универсального метода, позволяющего свести произвольное уравнение четвёртой степени к биквадратному относительно нового аргумента?

[ИСН]

Вызвать демонов, найти корни, перемножить сопряжённые, запомнить ответ, прогнать демонов, сжечь листочек, и сказать, что так и было. Здесь просто повезло - корни относительно хорошие.

[Mitrius_Math]

ИСН в сообщении #237872 писал(а):

Вызвать демонов, найти корни, перемножить сопряжённые, запомнить ответ, прогнать демонов, сжечь листочек, и сказать, что так и было. Здесь просто повезло - корни относительно хорошие.

Это Вы про универсальный метод, о котором я тут размечтался? Хорошо, ну а как в данном случае догадаться, что подстановка именно такая?

[gris]

Универсальный метод таков. Если это учебная задача, то не все составители задач такие, как Великий и Ужасный. Обычно они дают слегка завуалированные частные случаи.
В уравнении 4-ой степени это может быть корень +1 или -1, не сложнее. Тут нет. Это может быть достаточно очевидное разложение на множители. Тут нет. И наконец это может быть биквадратное уравнение или сводимое к нему. Если Вы когда нибудь интересовались формулами Кардано, то Вы должны помнить, что есть линейная подстановка,"убивающая" коэффициент при степени на единицу меньшей порядка уравнения.
Это $x=y-a_{n-1}/n} $ для приведённого уравнения. То есть $x=y-6/4$ в Вашем случае. У меня было очень сильное подозрение, что обнулится и коэффициент при первой степени.
Всегда предполагайте добродушность составителя задач и вставайте на его сторону. Для этого составьте десяток задач сами.

[Mitrius_Math]

gris в сообщении #237876 писал(а):

Универсальный метод таков. Если это учебная задача, то не все составители задач такие, как Великий и Ужасный. Обычно они дают слегка завуалированные частные случаи.
В уравнении 4-ой степени это может быть корень +1 или -1, не сложнее. Тут нет. Это может быть достаточно очевидное разложение на множители. Тут нет. И наконец это может быть биквадратное уравнение или сводимое к нему. Если Вы когда нибудь интересовались формулами Кардано, то Вы должны помнить, что есть линейная подстановка,"убивающая" коэффициент при степени на единицу меньшей порядка уравнения.
Это $x=y-a_{n-1}/n} $ для приведённого уравнения. То есть $x=y-6/4$ в Вашем случае. У меня было очень сильное подозрение, что обнулится и коэффициент при первой степени.
Всегда предполагайте добродушность составителя задач и вставайте на его сторону. Для этого составьте десяток задач сами.

Методом Кардано я интересовался и даже пытался с его помощью решать кубические уравнения (правда, не всегда успешно). И эту подстановку я помню, но никогда бы не предположил, что она может обнулить коэффициенты и при кубе, и при первой степени.

[gris]

Нет, она, увы, не обнуляет коэффициент при первой степени в общем случае. Только в частном. Кстати, я только что построил график левой части Вашего уравнения и увидел, что он ожидаемо симметричен относительно прямой $x=-1.5$.
К сожалению, не всегда маткад под рукой.
Кстати, для уравнений 3-4 степени ещё помогает дифференцирование и нахождение экстремумов.

[ewert]

gris в сообщении #237876 писал(а):

Всегда предполагайте добродушность составителя задач и вставайте на его сторону.

Ни за что не стану. Сочинять частные случаи в ожидании решения наугад -- это откровенное жлобство.

(кстати, не Кардано, а Феррари, хоть это и не важно)

[Mitrius_Math]

gris в сообщении #237884 писал(а):

Кстати, для уравнений 3-4 степени ещё помогает дифференцирование и нахождение экстремумов.

А что это даёт?

[gris]

Ну я же говорил
Хорошо, можно предполагать не добродушность, а просто его профессионализм. Ведь задача даётся не для того, чтобы помучить студента, а чтобы научить и закрепить.
Жаль, что в школе не дают таких упражнений: составьте задачу на использование свойства биссектрисы треугольника и средней линии трапеции; на использование формул приведения. О последнем.
Пример: решить уравнение $\sin 5x-\cos 8x=0$. В 80% случаев ответ: нету такой формулы.
К чему я всё это?

Пока писал пришёл вопрос. Это даёт иногда количество корней и их локализацию.

[Mitrius_Math]

ewert в сообщении #237895 писал(а):

не Кардано, а Феррари

Я знаю, что метод решения уравнений четвёртой степени носит имя Феррари. Но в данной теме речь шла о схожести метода Кардано (подстановка) и метода решения предложенного мной уравнения четвёртой степени.

[ewert]

Может иногда подсказать симметрию задачи. А может и не подсказать. Задачка-то -- жульническая.

[Mitrius_Math]

gris в сообщении #237902 писал(а):

Пока писал пришёл вопрос. Это даёт иногда количество корней и их локализацию.

Вне зависимости от того, вещественные они или комплексные?

[ewert]

gris в сообщении #237902 писал(а):

можно предполагать не добродушность, а просто его профессионализм.

Это трудно. Преподавателя, делающего ставку не на знание, а на угадывание -- трудно назвать профессиональным.

Конечно, интуиция -- дело тоже хорошее. Но отрабатывать исключительно её -- непрофессионально.

gris в сообщении #237902 писал(а):

Пример: решить уравнение $\sin 5x-\cos 8x=0$. В 80% случаев ответ: нету такой формулы.
К чему я всё это?

Не знаю, к чему. Но одно очевидно: в данной ситуации применение формул приведения в сочетании с переходом от суммы к произведению -- это стандартный набор стандартных шаблонов. И вот им-то и следует учить, а не чему-то там мистически гениальному.