Погрешность степени: поиск общей формулы...

[AKazak]

Здравствуйте!

При вычислении предельной относительной погрешности для операции возведения приближенной величины $\[A\]$ с предельной относительной погрешностью $\[\delta A\] $ в степень $\[n\]$ получаю следующее:

$\[\begin{array}{l} \delta {A^2} = 2\delta A + {\delta ^2}A; \\ \delta {A^3} = 3\delta A + 3{\delta ^2}A + {\delta ^3}A; \\ \delta {A^4} = 4\delta A + 6{\delta ^2}A + 4{\delta ^3}A + {\delta ^4}A; \\ \delta {A^5} = 5\delta A + 10{\delta ^2}A + 10{\delta ^3}A + 5{\delta ^4}A + {\delta ^5}A; \\ \delta {A^6} = 6\delta A + 15{\delta ^2}A + 20{\delta ^3}A + 15{\delta ^4}A + 6{\delta ^5}A + {\delta ^6}A; \\ \delta {A^7} = 7\delta A + 21{\delta ^2}A + 35{\delta ^3}A + 35{\delta ^4}A + 21{\delta ^5}A + 6{\delta ^7}A + {\delta ^7}A; \\ \end{array}\] $

Пробую найти общую формулу в виде: $\[\delta {A^n} = \sum\limits_{k = 1}^n {P(k,n){\delta ^n}A} \]$, где $\[\begin{array}{l} P(1,n) = n \\ P(n - 1,n) = n \\ P(n,n) = 1 \\ \end{array}\] $

Помогите, пожалуйста, с поиском общего выражения для $P(k,n)$...
Или может быть в качестве общей формулы другую конструкцию выбрать?

[Xaositect]

$P(k,n) = C_n^k$
Бином Ньютона.

[ewert]

AKazak в сообщении #237131 писал(а):

Пробую найти общую формулу

Ну, во-первых, у Вас там биномиальные коэффициенты вылазят (уж даже и лень думать, зачем и в каком смысле).

Главное: а нахрена это всё вообще нужно-то? -- когда во всех практически значимых приложениях погрешность оценивается попросту дифференциалом, ну пусть даже и с поправкой, но тоже очевидно оцениваемой.

[AKazak]

Xaositect
ewert
Спасибо за наводку. Сам не вспомнил - поздно уже, надо идти спасть...

Ответ, очевидный:
$\[\delta {A^n} = {(1 + \delta A)^n} - 1\]$

ewert в сообщении #237136 писал(а):

Главное: а нахрена это всё вообще нужно-то? -- когда во всех практически значимых приложениях погрешность оценивается попросту дифференциалом, ну пусть даже и с поправкой, но тоже очевидно оцениваемой.

Для моей задачи этого вполне хватит, но буду вам весьма признателен за рекомендацию хорошей литературы по методам оценки погрешности через дифференциал...

[AKazak]

ewert в сообщении #237136 писал(а):

во всех практически значимых приложениях погрешность оценивается попросту дифференциалом, ну пусть даже и с поправкой, но тоже очевидно оцениваемой.

Значит разложить в ряд и оценить величину остаточного члена?

[TOTAL]

AKazak в сообщении #237131 писал(а):

При вычислении предельной относительной погрешности

Что вычисляете, что такое предельная относительная погрешность?

[AKazak]

TOTAL в сообщении #237740 писал(а):

Что вычисляете, что такое предельная относительная погрешность?

Это $\[\max \left| {\delta (...)} \right|\]$

[TOTAL]

AKazak в сообщении #237742 писал(а):

TOTAL в сообщении #237740 писал(а):

Что вычисляете, что такое предельная относительная погрешность?

Это $\[\max \left| {\delta (...)} \right|\]$

Объясните словами.

[AKazak]

Из справочника по элементарной математике М. Я. Выгодского 1978 г.:

Цитата:

Абсолютной погрешностью или , короче, погрешностью приближенного числа называется разность между этим числом и его точным значением (при этом из большего числа вычитается меньшее). Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности приближенного числа к самому этому числу.
...
Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной абсолютной погрешностью. Число, заведомо превышающее относительную погрешность (или в худшем случае равное ей), называется предельной относительно погрешностью.

[TOTAL]

AKazak в сообщении #237745 писал(а):

Из справочника по элементарной математике

Что поменяется в задаче, если к относительным погрешностям не приставлять слово предельный?

[AKazak]

TOTAL в сообщении #237783 писал(а):

Что поменяется в задаче, если к относительным погрешностям не приставлять слово предельный?

В этой задаче терминология не имеет большого значения.
Если рассмотреть предельные случаи, то:
$\[\delta {A^2} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\delta ^2}A + 2\delta A} \\ {{\delta ^2}A - 2\delta A} \\ \end{array} } \right.\] $
Оба значения есть относительные погрешности, но значение $\[{{\delta ^2}A + 2\delta A}\] $ является предельной относительной погрешностью.