волновое уравнение

[tort]

У меня вопрос по задаче Решить 1-ю смешанную задачу для волнового урав-я на отрезке.
Я ее решил ответ у меня получился

\[ u(x,t) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\sin \pi nx(\frac{4} {{3(\pi n)^3 }}} (1 - 1)^3 - 1))\cos \pi nt \]

Мне задали вопрос: как доказать что этот ряд сходится равномерно? Сказали что надо оценить по модулю. Как это будет? Скажите пожалуйста.

[PAV]

Теперь сдаем зачет по дифурам?

[Руст]

Во первых

\[ u(x,t) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\sin \pi nx(\frac{4} {{3(\pi n)^3 }}} (1 - 1)^3 - 1))\cos \pi nt=-\sum \sin \pi nx \cos \pi nt \]

и ряд не сходится кроме случая x целое или t полуцелое.

[tort]

Руст писал(а):

Во первых

\[ u(x,t) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\sin \pi nx(\frac{4} {{3(\pi n)^3 }}} (1 - 1)^3 - 1))\cos \pi nt=-\sum \sin \pi nx \cos \pi nt \]

и ряд не сходится кроме случая x целое или t полуцелое.

А ты это как решал?

[Руст]

1-1=0 и то что что в знаменателе никак не относится к оставшийся 1. Я думаю, вам надо аккуратнее записать условие задачи.

[tort]

Вот мое решение

\[ \begin{gathered} u_{tt} = u_{xx} ,0 < x < 1,0 < t < \infty \hfill \\ u(x,0) = x (x - 1),u_t (x,0) = 0 \hfill \\ u(0,t) = 0,u(1,t) = 0,a = 1,l = 1; \hfill \\ \hfill \\ \mathbb{C}_n = \frac{2} {3}\int\limits_0^1 {x(x - 1)\sin \pi nxdx = } \frac{4} {{3(\pi n)^2 }}\cos n - \frac{4} {{3(\pi n)^2 }} = \frac{4} {{3(\pi n)^3 }}(( - 1)^n - 1) \hfill \\ D_n = \frac{2} {{\pi n}}\int\limits_0^1 {\varphi (x)\sin \pi nxdx = 0} \hfill \\ \end{gathered} \]

\[ u(x,t) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\sin \pi nx(\frac{4} {{3(\pi n)^3 }}} (1 - 1)^3 - 1))\cos \pi nt \]

{C}_n я написал конец. я интегрировал по частям два раза.

[незваный гость]

Интегралы что, дробя заедает. В Вашем случае -- обращают на себя формулы для $u(x,0)=x-(x-1)$ (не лишний ли минус -- $u(x,0)=x(x-1)$) и последняя формула (Вы как то очень странно $C_n$ подставили). Отсюда и вся конфузия.

[tort]

Там я исправил там без минуса. Решал то я без минуса .Напишите пожалуйста как будет ответ.

[незваный гость]

Вы неправильно подставляли $C_n$:
$u(x,t) = \sum\limits_{n = 1}^\infty \frac{4} {3(\pi n)^3 } ((- 1)^n - 1) \sin \pi nx \cos \pi nt =$ (поскольку выражение в скобках обращается в 0 при четных $n$) $-\sum\limits_{n = 0}^\infty \frac{8} {3(\pi (2n+1))^3 } \sin \pi (2n+1)x \cos \pi (2n+1)t$

Поправлено по мотивам следующего сообщения Someone. Невнимательность меня погубит .

[Someone]

В последнем выражении нужно либо написать $\sum\limits_{n=0}^{\infty}$, либо заменить $2n+1$ на $2n-1$

[tort]

Скажите пожалуйста как будет сходится ряд равномерно или условно? И напишите как вы это находили?

[Someone]

tort писал(а):

Скажите пожалуйста как будет сходится ряд равномерно или условно? И напишите как вы это находили?

Воспользуйтесь признаком Вейерштрасса.

Кстати, ничто не мешает функциональному ряду сходиться одновременно равномерно и условно. Или, "наоборот", абсолютно и неравномерно.

[tort]

напишите пожалуйста как будет сходится?

[tort]

Спасибо всем