Экстремум

[Mandel]

Помогите ответить на пару вопросов,связанных с поисками экстремумов.
1)Найти множество всех точек минимума для функции J(u):

$$ J(u)=\left\{\begin{array}{lll} |u^2-1|,u \ne 1,\\ 1,u=1. \end{array} \right. $$

2)Пусть

$$J(u) = |||u^2-1|-1|-1|$$

.Найти все локальные минимумы этой функции и определить на каких отрезках она является унимодальной.

3)Решить: J(u) = max |t^2 - u| -> min при 0 \le t \le 1

4)Решить:

$$ J(u)=\left\{\begin{array}{lll} (1+e^{u^{-1})^{-1},u \ne 0,\\ 0,u=0. \end{array} \right. $$ $$ J(u)->extr,u \in R $$

5)Привести пример функции,удовлетворяющих условию Липшица,но не являющихся унимодальной (не менее трех).Удовлетворяет ли
условиям Липшища функция унимодальная на отрезке.Утверждение доказать.


P.S>пытался решить первые 4 задачи классическим методом,но все напрасно.Построил графики в MathCad,но ответ с моим не
сходится.

Прошу помочь.Спасибо.

[Руст]

Mandel писал(а):

Помогите ответить на пару вопросов,связанных с поисками экстремумов.
1)Найти множество всех точек минимума для функции J(u):

$$ J(u)=\left\{\begin{array}{lll} |u^2-1|,u \ne 1,\\ 1,u=1. \end{array} \right. $$

2)Пусть

$$J(u) = |||u^2-1|-1|-1|$$

.Найти все локальные минимумы этой функции и определить на каких отрезках она является унимодальной.

3)Решить: J(u) = max |t^2 - u| -> min при 0 \le t \le 1

4)Решить:

$$ J(u)=\left\{\begin{array}{lll} (1+e^{u^{-1})^{-1},u \ne 0,\\ 0,u=0. \end{array} \right. $$ $$ J(u)->extr,u \in R $$

5)Привести пример функции,удовлетворяющих условию Липшица,но не являющихся унимодальной (не менее трех).Удовлетворяет ли
условиям Липшища функция унимодальная на отрезке.Утверждение доказать.


P.S>пытался решить первые 4 задачи классическим методом,но все напрасно.Построил графики в MathCad,но ответ с моим не
сходится.

Прошу помочь.Спасибо.

1)u=-1
2)$u=\pm 1,u=\pm \sqrt 3 .$
3) u=1/2.
4) $1)u=0,J(u)=0,2) u=\infty J(u)=\frac 12 , u=-0, J(u)=1$
5) Что по вашему унимодальная функция?

[Mandel]

1)Как вы здесь нашли минимум
2)И здесь
3)И здесь
4)И здесь
5)Функция J(u) называется унимодальной на отрезке U = [a,b],если она непрерывна на этом отрезке и существуют числа $\alpha,\beta$: $a\le \alpha \le \beta \le b$ такие,что J(u) строго монотонно убывает на отрезке [a,\alpha], J(u) строго монотонно возрастает на [\beta,b] и J(u) = inf J(u),u \in U на [\alpha, \beta] так,что множество всех точек минимума=[\alpha, \beta].
Ну или вот я выложил pdf страницу из Васильева:
http://slil.ru/22846095

[Brukvalub]

В задаче 5 неЛипшицевой, но унимодальной будет следующая функция (докажите это сами):
$f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} {-\arcsin \;x\quad ,\; - 1 \le x \le 0} \\ {0\quad ,0 < x < 1} \\ { \arcsin \;(x - 1)\quad ,\;1 \le x \le 2} \\ \end{array}} \right.$

[Руст]

Любая функция, у которой производная обращается в бесконечность будет не Липшецевой, что позволяет построить унимодальные не Липшициевые функции. Легко построить и липшициевые но не унимодальные функции в виде суммы ряда $\sum_n \frac{sin 3^nx}{2^n}.$

[Mandel]

А вот ещё помогите:
1)Найти область выпуклости функции J(u)=sin(u)+sin(2u)
2)Найти (и показать как нали ) проекцию точки u на множество U={u=(u^1,u^2,\ldots,u^n : \alpha_i \le u^i \le \beta_i)}
3)Найти множество всех точек минимума функции J(u)=sin[\pi\cdot exp(-u^2)] на множестве R.Построить
минимизирующие последовательности для J(u),которая сходится к множеству всех точек минимума и не сходится.

(Последовательность {u_k} \in U называется минимизирующей для функции J(u) на U,если
lim J(u_k) = inf J(u) на U,k -> \infty)

P.S>а как вы получили в предыдущих задачах минимумы (особенно во 2,3,4)

[Mandel]

Здравствуйте.Есть предложения?

[reader_st]

1) Нужно найти множество всех $u\in \mathbb{R}^n$, удовлетворяющих неравенству $\frac{\partial^2J}{\partial u^2}>0$.
2) Напоминает метод проекций: рекомендую книгу Химмельблау "Прикладное нелинейное программирование".
3) Интересная задача.

[Mandel]

А как насчет того,что получил Руст в первых 5 задачах.Как он нашел минимумы (в 1,2,3,4 задачах)

[Mandel]

Кстати,я знаю что вторая производная должна быть неотрицательной.Но затем возникает проблема с решением тригонометрического неравенства.

[Mandel]

Руст!
Как Вы решили задачи 1-4 из первого поста?