сколько малых окружностей можно вписать в большую

[AlekseyToro]

Задача: сколько можно вписать одинаковых окружностей радиуса r в большую окружность радиуса R.

Решить в общем случае эту задачу никак не получается. Это вообще возможно ?
Я пока пришел к выводу что нет .
Тогда частный случай этой задачи: есть 30 ( +-10) окружностей радиуса r (пусть даже все численно известено). Вопрос: какого радиуса R нужно взять большую окружность, чтоб все эти маленькие в нее вписались?
Возникает вопрос а как компановать окружности? Я как ни размышлял, пришел к выводу что сначала заполнять с максимального удаления от центра и так кругами все ближе и ближе к центру. Но это хорошо если известен большой радиус и нужно посмотреть количество. А если радиус найти надо? Как будет правильно ?

[ИСН]

Задача сложная, общего решения нет, надо тыкаться так и сяк.

[Someone]

Д.О.Шклярский, Н.Н.Ченцов, И.М.Яглом. Геометрические оценки и задачи из комбинаторной геометрии. "Наука", Москва, 1974.

Эта задача рассматривается в книжке под номером 110. Там есть и ссылки на другую литературу. К моменту написания книги задача была решена для числа окружностей, не превосходящего 19.

[maxmatem]

Посмотрите в книге "Комбинаторная геометрия"-автор И.М.Яглом.

[Батороев]

AlekseyToro в сообщении #236640 писал(а):

Задача: сколько можно вписать одинаковых окружностей радиуса r в большую окружность радиуса R.

Такую задачу рассматривали на форуме в прошлом году: http://dxdy.ru/topic12468.html.
Кое-что можно почерпнуть по ссылке: http://bajandin.narod.ru/Callt.pdf (с философским подтекстом ).

[age]

Задача сводится к нахождению описанной окружности вокруг правильного n-угольника такого, что каждая его сторона будет равна двойному радиусу $2r$. Тогда радиус искомой окружности будет радиус описанной окружности вокруг данного n-угольника + r.
Пусть радиус данных окружностей $r$. Тогда для количества окружностей равного $n$ получаем правильный n-угольник со стороной $2r$. Радиус описанной около него окружности будет:
$R_n=\dfrac{r}{sin\left(\frac{\pi}{n}}\right)$
Откуда радиус искомой окружности:
$R=R_n+r=\dfrac{r}{sin\left(\frac{\pi}{n}}\right)}+r$.
Начиная с некоторого значения $n$, когда расстояние между внутренними дугами двух вписанных противоположенных окружностей превысит $2r$, внутрь можно будет поместить еще окружность. Причем по тому же самому принципу. Поэтому можно рассчитать для любого $n$.
Единственно, что надо потрудиться рассчитать сколько будет вложений. Тут согласен, что универсальная формула будет трудоемкой.
В частности, первую дополнительную окружность можно будет поместить начиная со значения $n$ такого, что $R\geq3r$. Откуда
$R_n\geq2r$ или

$\dfrac{r}{sin\left(\frac{\pi}{n}}\right)}\geq2r$. Откуда

$sin\left(\frac{\pi}{n}}\right)\leq\frac12$. Откуда $n\geq6$.

Таким образом, начиная с $n=6$ для заданного радиуса уже поместится внутрь не $6$, а $7$ окружностей.
Далее принцип тот же. Две окружности внутрь первого кольца окружностей поместить нельзя, только три. Расчет аналогичен. Когда число внтутренних окружностей достигнет $6$ внутрь них снова можно будет поместить новую окружность и так далее! Количество вложений колец может расти до бесконечности.
Является ли данный алгоритм единственным, сказать не могу. Но скорее всего, да.

-- Пт авг 21, 2009 19:05:34 --

Для сорока окружностей необходимо будет посчитать число колец и как следствие число окружностей, которое в данное число колец уместится. Если число окружностей в первом (внешнем) кольце будет $p$, то радиус внутреннего кольца, образованного вписанной в это кольцо окружности будет:
$R_1=R_n-r=\dfrac{r}{sin\left(\frac{\pi}{p_1}}\right)}-r$.
В свою очередь, в эту окружность поместится кольцо из окружностей с количеством, не большим:
$p_2=\dfrac{\pi}{arcsin\left(\dfrac{sin\left(\frac{\pi}{p_1}\right)}{1-2sin\left(\frac{\pi}{p_1}\right)}\right)}$
Чтобы точно считать, эту формулу надо упрощать. Я этим заниматься не стал, а посчитал на компьютере. Для 40 окружностей у меня получилось 4 кольца: $20, 13, 6$ и $1$ окружности в каждом. Таким образом, искомый радиус составил:
$R_{40}=\dfrac{r}{sin\left(\frac{\pi}{20}}\right)}+r=7,392 r$

[Батороев]

age
Вы в своих расчетах пытаетесь расположить малые окружности "красиво".
В прошлогоднем обсуждении была такая картинка:

007 в сообщении #106533 писал(а):

По этой картинке видно, что нарушив "красоту", можно было бы втиснуть еще одну малую окружность.
Например, опустить две верхние и центральную вниз и тогда выше их может оказаться еще одно место для одной.

[age]

Батороев
Можно! Но $8$ иначе не втиснешь, только $9$. Если же поставить задачу, сколько можно в окружность радиуса $R$ вписать окружностей радиуса $r$, то это уже другое дело.

[Батороев]

age в сообщении #236829 писал(а):

Батороев
Можно! Но $8$ иначе не втиснешь, только $9$. Если же поставить задачу, сколько можно в окружность радиуса $R$ вписать окружностей радиуса $r$, то это уже другое дело.

Из чего Вы решили, что 8 не втиснуть?
На картинке их как раз столько.

Как я понял, условие задачи именно так и поставлено.
А то, что существует вопрос по частному случаю:

AlekseyToro в сообщении #236640 писал(а):

Тогда частный случай этой задачи: есть 30 ( +-10) окружностей радиуса r (пусть даже все численно известено). Вопрос: какого радиуса R нужно взять большую окружность, чтоб все эти маленькие в нее вписались?

так его можно решить и практически:
Купить 30 цилиндрических карандашей, стянуть их большим хомутом и посмотреть расположение карандашей.
Только думаю, что они тоже распределятся не "красиво".

[age]

В моем случае для 40 окружностей получилось вот такое:

решение. Думаю вы вряд ли сможете решить красивее.

[ИСН]

age в сообщении #236810 писал(а):

Задача сводится

Щаз! Если бы...

-- Пт, 2009-08-21, 19:58 --

Красивее, допустим, нельзя. Плотнее - можно.

[Батороев]

age
Будь у меня "хомут" для Вашей картинки, я б наружный диаметр уменьшил бы существенно... и всю красоту испортил бы.
Хотя, в душе сам эстет.

[age]

Батороев в сообщении #236835 писал(а):

Купить 30 цилиндрических карандашей, стянуть их большим хомутом и посмотреть расположение карандашей.
Только думаю, что они тоже распределятся не "красиво".

Ах вот вы о чем! Ну тогда это будет уже не "Помогите решить/разобраться", а "Олимпиадная задачка"!

-- Пт авг 21, 2009 20:09:00 --

ИСН
Можно. Там в центре пустоты. Но больше одной окружности вряд ли залезет, просто качество модели получилось хорошее. Думаю можно найти такие значения $n$, что моя модель даст слабенькие результаты. Например, при $n=9$.

[Батороев]

ИСН в сообщении #236657 писал(а):

Задача сложная, общего решения нет, надо тыкаться так и сяк.

Похоже, ИСН прав и любое соотношение $r$ и $R$ надо рассматривать персонально.

-- Пт авг 21, 2009 22:24:53 --

age в сообщении #236840 писал(а):

Батороев в сообщении #236835 писал(а):

Купить 30 цилиндрических карандашей, стянуть их большим хомутом и посмотреть расположение карандашей.
Только думаю, что они тоже распределятся не "красиво".

Ах вот вы о чем! Ну тогда это будет уже не "Помогите решить/разобраться", а "Олимпиадная задачка"!

Что-то подсказывает, что это даже не олимпиадная задачка, а типа "научно-исследовательская".

age в сообщении #236840 писал(а):

Можно. Там в центре пустоты. Но больше одной окружности вряд ли залезет, ...

Это, как стараться. Если картинку хорошо "потрясти", так похоже, штуки три-четыре еще войдет.

[age]

Кстати, есть такие соображения:
Если согласно вот этой:
http://en.wikipedia.org/wiki/Sphere_packing
статье максимальная плотность не может быть выше $\dfrac{\pi}{2\sqrt3}$.
Поэтому берем мою оценку сверху $7,392$. Находим площадь круга:
$S=171,65$.
Берем наилучшую оценку из статьи:
$\dfrac{\pi}{2\sqrt3}$.
и получаем теоретическое оптимальное количество кругов:
$N=\dfrac{171,65}{\pi}\cdot\dfrac{\pi}{2\sqrt3}=49,56$
Т.е. еще можно 9 кругов.
Если же реально учесть, что очерчивающая 40 кругов фигура также есть круг, то для круга данная оценка будет еще меньше. Где-то $3-4$ круга можно добавить.
Беда в том, что если брать стягивающий карандаши обруч, то получаемая фигура всегда будет отличаться от круга, т.к. круг не является оптимальной упаковкой. Будет всегда получаться некоторый эллипс с наибольшим количеством вписанных карандашей.

-- Пт авг 21, 2009 21:00:11 --

Данная задача ведет к другой задаче:
Найти такое расположение кругов радиуса $1$ внутри круга радиуса $7$, что их количество будет максимальным. Уверен, что это расположение будет также отлично от оптимального, указанного:
http://en.wikipedia.org/wiki/Sphere_packing