Немножко в другом оформлении (для неотрицательных). Надо доказать: если ряд

сходится, то

В принципе, это очевидно: "среднее" значение сомножителей

внутри суммы становится все меньше по сравнению с

. А формализовать это стандартное соображение можно таким стандартным же приёмом:

где

Если теперь задать

уходящим на бесконечность, но много медленнее самого

(т.е.так, что

), то

в то время как

откуда ноль и выходит.
Соответственно,

можно заменить на любую монотонно и неограниченно возрастающую последовательность, только ограничение на рост

придётся сформулировать чуть более аккуратно.