Немножко в другом оформлении (для неотрицательных). Надо доказать: если ряд
![$\sum\limits_{k=1}^{\infty}b_k$ $\sum\limits_{k=1}^{\infty}b_k$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/b/f/7bf564fffb9b3b646a90bce08e2b8fb382.png)
сходится, то
![$\lim\limits_{n\to\infty}n^{-\alpha}\sum\limits_{k=1}^{n}b_k\cdot k^{\alpha}=0.$ $\lim\limits_{n\to\infty}n^{-\alpha}\sum\limits_{k=1}^{n}b_k\cdot k^{\alpha}=0.$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/e/f/8ef4090886737a5b8ed6ab091bedd3ff82.png)
В принципе, это очевидно: "среднее" значение сомножителей
![$k^{\alpha}$ $k^{\alpha}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/9/c2990ab7a05d733b8d1046ec20fd12b582.png)
внутри суммы становится все меньше по сравнению с
![$n^{\alpha}$ $n^{\alpha}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/4/554bfc0fda522394e1a820e76e18c03182.png)
. А формализовать это стандартное соображение можно таким стандартным же приёмом:
![$$n^{-\alpha}\sum\limits_{k=1}^{n}b_k\cdot k^{\alpha}=n^{-\alpha}\sum\limits_{k=1}^{m_n}b_k\cdot k^{\alpha}+n^{-\alpha}\sum\limits_{k=m_n}^{n}b_k\cdot k^{\alpha}\leqslant n^{-\alpha}\cdot S_{m_n}\cdot m_n^{\alpha}+(S_n-S_{m_n}),$$ $$n^{-\alpha}\sum\limits_{k=1}^{n}b_k\cdot k^{\alpha}=n^{-\alpha}\sum\limits_{k=1}^{m_n}b_k\cdot k^{\alpha}+n^{-\alpha}\sum\limits_{k=m_n}^{n}b_k\cdot k^{\alpha}\leqslant n^{-\alpha}\cdot S_{m_n}\cdot m_n^{\alpha}+(S_n-S_{m_n}),$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/c/d/7cdf3aa8937dae29c24fc9a62f08ba2a82.png)
где
![$S_n\equiv\sum\limits_{k=1}^n b_k.$ $S_n\equiv\sum\limits_{k=1}^n b_k.$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/a/4fa7266b9dbb6e9bac6788e87be34dc282.png)
Если теперь задать
![$m_n$ $m_n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/9/d595c5e155ed3536b61bbc92e8faf97582.png)
уходящим на бесконечность, но много медленнее самого
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
(т.е.так, что
![${m_n\over n}\to0$ ${m_n\over n}\to0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/e/e/eee3023b834b497422d4e674b1afdbab82.png)
), то
![$S_{m_n}\leqslant\mathrm{const},$ $S_{m_n}\leqslant\mathrm{const},$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/3/0/830c43b543b1b85cb013ae651c238f7982.png)
в то время как
![$S_n-S_{m_n}\to0,$ $S_n-S_{m_n}\to0,$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/f/5/8f530cc8055d5119135e167f4fbbdef082.png)
откуда ноль и выходит.
Соответственно,
![$k^{\alpha}$ $k^{\alpha}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/9/c2990ab7a05d733b8d1046ec20fd12b582.png)
можно заменить на любую монотонно и неограниченно возрастающую последовательность, только ограничение на рост
![$m_n$ $m_n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/9/d595c5e155ed3536b61bbc92e8faf97582.png)
придётся сформулировать чуть более аккуратно.