Магические квадраты

[Mathusic]

Да, вы правы. (недавно совсем прочитал про квадраты в Вики). Однако, в определении нетрадиционного магического квадрата не сказано, что числа должны быть различными.
(нечёткая формулировка). А что, такие матрицы (с повтором) не исследуются? Или они менее "ценны", хотя понятно, что матрицы с более сильными ограничениями найти сложнее.
PS Где можно найти ссылку на пандиагональный квадрат 3x3? (или может Вы можете привести)

[Nataly-Mak]

На форуме Портала Естественных Наук в теме “Числа Смита” были найдены арифметические прогрессии из смитов длиной 5. Используя эти прогрессии, я построила нетрадиционный магический квадрат 5-го порядка из смитов.

627 4619515 4653553 6633256 11989264
6633265 11989273 636 4619479 4653562
4619488 4653526 6633274 11989282 645
11989291 654 4619497 4653535 6633238
4653544 6633247 11989255 663 4619506

Вот только это, наверное, не наименьший квадрат. Задача построения магического квадрата 5-го порядка из различных смитов с минимальной магической константой остаётся.

Для построения магического квадрата 7-го порядка из разных смитов с использованием этого же алгоритма мне необходимы семь арифметических прогрессий длиной 7 из различных смитов с одинаковой разностью. У меня таких прогрессий нет. И, наверное, их нигде пока нет. Мне известна только одна прогрессия из смитов длиной 7: $164736913905 + n, n = 0, 1, …, 6$. Это семёрка смитов-близнецов. Да ещё те арифметические прогрессии, которые выложены в этой ветке.
Если кто найдёт нужные мне 7 прогрессий, сообщите, пожалуйста.

Наверное, можно придумать другой алгоритм построения квадрата 7х7 из разных смитов без использования арифметических прогрессий. Итак, задача 3: построить нетрадиционный магический квадрат 7-го из разных смитов (дополнительное условие: с минимальной магической константой).

Составные магические квадраты из смитов 8-го и 9-го порядков здесь уже построены. Магический квадрат 10-го порядка можно тоже попытаться построить как составной – из 4 квадратов 5х5 с одинаковой магической константой.
***
Для одного из магических квадратов 5-го порядка из простых чисел с минимальной магической константой, представленных пользователем Бодигрим, я нашла 4 неэквивалентных варианта. См. статью “Нетрадиционные магические квадраты из простых чисел (часть II)”.

-- Вт авг 18, 2009 07:33:56 --

Mathusic в сообщении #235947 писал(а):

PS Где можно найти ссылку на пандиагональный квадрат 3x3? (или может Вы можете привести)

Пандиагонального квадрата 3-го порядка не существует.

-- Вт авг 18, 2009 07:45:38 --

Mathusic в сообщении #235947 писал(а):

Однако, в определении нетрадиционного магического квадрата не сказано, что числа должны быть различными.
(нечёткая формулировка).

Цитата из книги "Магические квадраты. Теория чисел, алгебра, комбинаторный анализ" (Ю. В. Чебраков. С. - Петербург, 1995): "Магические квадраты могут быть классическими или нетрадиционными в зависимости от того, содержат ли он только последовательные натуральные числа от 1 до n*n или содержат какой-либо другой набор чисел". (курсив мой)

Согласно этому определению в нетрадиционном магическом квадрате может содержаться любой набор чисел, в том числе и с повторениями чисел.

[Mathusic]

Цитата:

Цитата из книги "Магические квадраты. Теория чисел, алгебра, комбинаторный анализ" (Ю. В. Чебраков. С. - Петербург, 1995): "Магические квадраты могут быть классическими или нетрадиционными в зависимости от того, содержат ли он только последовательные натуральные числа от 1 до n*n или содержат какой-либо другой набор чисел". (курсив мой)

Согласно этому определению в нетрадиционном магическом квадрате может содержаться любой набор чисел, в том числе и с повторениями чисел.

Понятно, значит товарищ maxal, не до конца прав.

Цитата:

Пандиагонального квадрата 3-го порядка не существует.

Спасибо, это я уже сам понял, решив ОСЛУ. Просто у тов. Александрова в его статье было написано, что не известно, сущ. или нет идеальный квадрат 3x3 и 4x4. Однако, насколько я понимаю, если квадрат порядка три явл. магическим, то ассоциативным - автоматически (не в классическом определении для нормальных квадратов), значит достаточно доказать несуществование пандиагонального.

[maxal]

Mathusic в сообщении #236047 писал(а):

Понятно, значит товарищ maxal, не до конца прав.

Вообще-то я говорил именно про классические квадраты. Обычно, если специально не оговаривается нетрадиционность, то по "магическим квадратом" понимается именно классический. Ваш метод может быть применен для получения нетрадиционных квадратов, но они не так интересны как классические.

[Nataly-Mak]

Mathusic в сообщении #236047 писал(а):

Просто у тов. Александрова в его статье было написано, что не известно, сущ. или нет идеальный квадрат 3x3 и 4x4. Однако, насколько я понимаю, если квадрат порядка три явл. магическим, то ассоциативным - автоматически (не в классическом определении для нормальных квадратов), значит достаточно доказать несуществование пандиагонального.

Вопросы существования идеальных магических квадратов 3-го и 4-го порядков обсуждались в этой ветке. Идеальных квадратов 3-го порядка не существует. Нетрадиционный идеальный квадрат 4-го порядка существует. Несуществование традиционного идеального квадрата 4-го порядка доказано мной в статье "Ассоциативные магические квадраты"

[maxal]

Mathusic в сообщении #235947 писал(а):

Однако, в определении нетрадиционного магического квадрата не сказано, что числа должны быть различными.
(нечёткая формулировка). А что, такие матрицы (с повтором) не исследуются? Или они менее "ценны", хотя понятно, что матрицы с более сильными ограничениями найти сложнее.

Нетрадиционные квадраты обычно интересны только с элементами из некоторого множества (например, из множества простых чисел). Решая СЛАУ, вы получите кучу "постронних" нетрадиционных квадратов, не имея никакой возможности наложить ограничения на множество элементов квадрата.

[Nataly-Mak]

maxal в сообщении #236090 писал(а):

Нетрадиционные квадраты обычно интересны только с элементами из некоторого множества (например, из множества простых чисел). Решая СЛАУ, вы получите кучу "постронних" нетрадиционных квадратов, не имея никакой возможности наложить ограничения на множество элементов квадрата.

Интересны и нетрадиционные идеальные магические квадраты порядков вида $n = 4k + 2$, для которых традиционные идеальные (и даже только ассоциативные или только пандиагональные) квадраты не существуют.

[Mathusic]

Nataly-Mak в сообщении #236088 писал(а):

Mathusic в сообщении #236047 писал(а):

Просто у тов. Александрова в его статье было написано, что не известно, сущ. или нет идеальный квадрат 3x3 и 4x4. Однако, насколько я понимаю, если квадрат порядка три явл. магическим, то ассоциативным - автоматически (не в классическом определении для нормальных квадратов), значит достаточно доказать несуществование пандиагонального.

Вопросы существования идеальных магических квадратов 3-го и 4-го порядков обсуждались в этой ветке. Идеальных квадратов 3-го порядка не существует. Нетрадиционный идеальный квадрат 4-го порядка существует. Несуществование традиционного идеального квадрата 4-го порядка доказано мной в статье "Ассоциативные магические квадраты"

А я смотрел статью Вашего коллеги Александрова. Видимо, про идеальные квадраты 3x3 и 4x4 неизвестно ему, а он пишет, что неизвестно в принципе.

[Nataly-Mak]

Судя по названию статьи, на которую вы ссылаетесь, в ней представляются идеально-совершенные (или совершенно-идеальные) магические квадраты, у Александрова и такие магические квадраты имеются, о чём он сообщал на форуме. Хочу предупредить: будьте внимательны, магические квадраты не могут быть одновременно и идеальными, и совершенными. Я пыталась доказать это Александрову, но безуспешно.

[Mathusic]

Что значит термин совершенные квадраты?

[Nataly-Mak]

Совершенные магические квадраты это пандиагональные квадраты порядка $n = 4k, k = 1, 2, 3, ...$, которые обладают некоторыми дополнительными свойствами. Подробнее см. в статье "Совершенные магические квадраты (часть II)".
Для порядка 4 имеем исключительный случай: все пандиагональные квадраты 4-го порядка являются совершенными.

[Mathusic]

Cемёрки находятся вполне хорошо. Вот.
Например

9000: 
718258,727258,736258,745258,754258,763258,772258,
27092065,27101065,27110065,27119065,27128065,27137065,27146065,
35820454,35829454,35838454,35847454,35856454,35865454,35874454,
57760762,57769762,57778762,57787762,57796762,57805762,57814762,
100614694,100623694,100632694,100641694,100650694,100659694,100668694,
147671185,147680185,147689185,147698185,147707185,147716185,147725185,
150800674,150809674,150818674,150827674,150836674,150845674,150854674,
181254082,181263082,181272082,181281082,181290082,181299082,181308082,
190529266,190538266,190547266,190556266,190565266,190574266,190583266,
190538266,190547266,190556266,190565266,190574266,190583266,190592266,
190547266,190556266,190565266,190574266,190583266,190592266,190601266,
192920746,192929746,192938746,192947746,192956746,192965746,192974746,
203662795,203671795,203680795,203689795,203698795,203707795,203716795,

Для каждой разности можно выбрать нужный набор. PS Прикрепить файл (архив) можно?

[Nataly-Mak]

Замечательно! Спасибо вам. Сейчас составлю магический квадрат 7-го порядка из смитов из ваших прогрессий.
Далее определюсь, что мне нужно для построения по данному алгоритму магического квадрата 8х8. Я имею в виду не составной квадрат, который здесь уже построен.

[Mathusic]

Nataly-Mak в сообщении #236501 писал(а):

Замечательно! Спасибо вам. Сейчас составлю магический квадрат 7-го порядка из смитов из ваших прогрессий. Скажите: 9000 - это минимальная разность для прогрессий длины 7? Ну, не считая известную семёрку близнецов.
Далее определюсь, что мне нужно для построения по данному алгоритму магического квадрата 8х8. Я имею в виду не составной квадрат, который здесь уже построен.

Нет, это не минимум, там есть $1260$. Я же ссылку на скачивание дал. Вы не заметили?

[Nataly-Mak]

Определилась с квадратом 8х8 из смитов, для его построения тоже нужны арифметические прогрессии, 8 штук длиной 8 с одинаковой разностью.
Кстати, начала писать статью "Нетрадиционные магические квадраты из чисел Смита". Статья ещё не завершена. Просьба дать комментарии.