Найти сумму

[Nxx]

Найти формулу для суммы:

$$f(x)=\sum_{s=1}^x a^{\frac1s}$$

Ни одна система компьютерной алгебры не берет. Пробовал Mathematica, Maxima, Axiom.

[Cave]

А почему вы думаете, что эта сумма записывается в компактной форме, что аж вторую тему по этому вопросу завели?

[Nxx]

А почему нет? Выглядит просто. Интеграл находится.

[ewert]

Интегралы вообще считать в некотором смысле проще, чем суммы.

[Nxx]

ewert в сообщении #235542 писал(а):

Интегралы вообще считать в некотором смысле проще, чем суммы.

Почему? Есть объективные причины или просто потому что более проторенная область?

[terminator-II]

Nxx в сообщении #235531 писал(а):

А почему нет? Выглядит просто. Интеграл находится.

любопытно было бы посмотреть о каком интеграле речь и как он находится

[Профессор Снэйп]

Nxx в сообщении #235549 писал(а):

Почему? Есть объективные причины или просто потому что более проторенная область?

Хороший вопрос

Я бы сказал, что это потому, что дискретная математика сложнее непрерывной

-- Вс авг 16, 2009 15:59:15 --

terminator-II в сообщении #235564 писал(а):

любопытно было бы посмотреть о каком интеграле речь и как он находится

Вероятно, речь идёт об интеграле

$$ \int_1^x a^{1/s} ds $$

[Nxx]

Цитата:

Я бы сказал, что это потому, что дискретная математика сложнее непрерывной

В данном случае это условности, так как в обоих случаях и исходная, и результирующая функции непрерывные. Вопрос в том, что конкретно мешает вычислить сумму по аналогии с интегралом?

Цитата:

любопытно было бы посмотреть о каком интеграле речь и как он находится

$$\int a^{1/x} dx=x\sqrt[x]{a}-\operatorname{Ei}\left(\frac{\ln a}{x}\right)\ln a + C\,$$

[terminator-II]

Nxx в сообщении #235570 писал(а):

$$\int a^{1/x} dx=x\sqrt[x]{a}-\operatorname{Ei}\left(\frac{\ln a}{x}\right)\ln a + C\,$$

это у Вас называется "интеграл находится" ну-ну

[ewert]

Nxx в сообщении #235549 писал(а):

ewert в сообщении #235542 писал(а):

Интегралы вообще считать в некотором смысле проще, чем суммы.

Почему? Есть объективные причины или просто потому что более проторенная область?

Есть объективные причины. Интеграл -- это всегда какой-то предел. А пределы (как сугубо частные случаи) -- всегда проще, чем их прародители.

[Nxx]

Цитата:

это у Вас называется "интеграл находится" ну-ну

Сможете также выразить вышеприведенную сумму?

Цитата:

Есть объективные причины. Интеграл -- это всегда какой-то предел. А пределы (как сугубо частные случаи) -- всегда проще, чем их прародители.

Без проблем могу выразить вышеприведенную сумму в виде предела. Это как-то поможет ее найти?

[Xaositect]

Nxx в сообщении #235604 писал(а):

Сможете также выразить вышеприведенную сумму?

$$\sum_{s=1}^x a^{1/s}=x\sqrt[x]{a}-\operatorname{Ei}\left(\frac{\ln a}{x}\right)\ln a + \operatorname{D_{Nxx}}(x)\,$$

[ewert]

Nxx в сообщении #235604 писал(а):

Без проблем могу выразить вышеприведенную сумму в виде предела. Это как-то поможет ее найти?

не можете, и никак не поможет. Ибо та сумма -- конечна.

[Nxx]

ewert в сообщении #235610 писал(а):

Nxx в сообщении #235604 писал(а):

Без проблем могу выразить вышеприведенную сумму в виде предела. Это как-то поможет ее найти?

не можете.

Почему же?

$$ \sum _{z=0}^{x-1} a^{1/(z+1)}=\lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{N} \frac{(a^{1/(x+1)})^{(n-1)} (0)}{n!} B_n(x) + C$$

Эта сумма не очень-то отличается от ряда Тейлора для интеграла. Только вместо степеней х стоят полиномы Бернулли.

-- Вс авг 16, 2009 17:19:53 --

Xaositect в сообщении #235608 писал(а):

$$\sum_{s=1}^x a^{1/s}=x\sqrt[x]{a}-\operatorname{Ei}\left(\frac{\ln a}{x}\right)\ln a + \operatorname{D_{Nxx}}(x)\,$$

Существенное отличие в том, что моя система компьютерной алгебры знает функцию Ei(x), но абсолютно без понятия о функции $ \operatorname{D_{Nxx}}(x)$. То же самое относится и к любой другой системе компьютерной алгебры.

[AD]

Nxx в сообщении #235627 писал(а):

Существенное отличие в том, что моя система компьютерной алгебры знает функцию Ei(x), но абсолютно без понятия о функции $ \operatorname{D_{Nxx}}(x)$.

И чем это помогает?