Углы одного направления

[Sasha2]

В задачах по геометрии часто используется то, что два угла имеют одно и то же направление вращения.
А как вообще это показывать, что два угла имеют одно и то же направление вращения?
Или это только доказывается типа "из рисунка видно".

[ShMaxG]

Sasha2
Приведите пожалуйста хотя бы одну такую задачу, посмотрим.

Я думаю, что "из рисунка видно" - это ничего не доказывает А как доказываются обычные вещи? Не по рисунку же. Вообще, если просто дан угол, то нельзя сказать, какое у него направление вращения, его надо находить из конкретных условий.

[Sasha2]

Например.
Доказать, что если в двух равных треугольниках одного и того же направления есть одна пара соответственных сторон, перпендикулярных друг другу, то тогда и все соответственные стороны будут перпендикулярны друг другу.

Вот еще одна задача, где используется это.
Дан треугольник. На двух его сторонах построены квадраты. Доказать, что медиана, выходящая из вершины этих двух сторон, на которых построены квадраты равна половине отрезка, соединяющего две вершины этих квадратов, который явлется третьей стороной треугольника также с вершиной, из которой выходит указанная медиана, но второй и третьей сторонами которого являются уже стороны построенных, указанным выше образом квадратов.

[ShMaxG]

Насчет второй: квадраты на сторонах можно двумя разными способами строить, итого - 4 варианта. Или все равно? Эту задачу можно решить и без направлений углов: используя векторы.

Что касается первой задачи:

Поворачиваем копию треугольника АВС (основание - АС) на 90 градусов вокруг вершины А (получив треугольник $AB'C'$, т.о. получим что угол $\[ B'AB \] $ равен 90 градусов. А надо доказать, что прямая $AC'\[ \bot \]AC$ и $B'C'\[ \bot \]BC$. Кстати, то, что $C'AC$ - прямой - очевидно по построению, поворот же был вокруг точки А. Ну и закончить какой-нить формулой

$\[ \left( {{\text{BC}}{\text{,B'C'}}} \right) = a\cos \frac{\pi } {2} = 0 \]$

Вообще, направление угла между прямыми B'C' и BC это вот что такое:
$ \[ {\text{e}} = \left[ {d{\text{BC}}{\text{,BC}}} \right] \]$

Ну в общем, не знаю как вы, а мне кажется, что нагляднее и понятнее способа решать через векторы нет. Все равно понятие направления угла связано с векторами (а точнее - с псевдовекторами). Кароче, выше написана формализация этого направления, думаю, ей, если надобно, и следует пользоваться. Но предложенные вами задачи решаются векторами и без направлений.

[Sasha2]

А что в первой не понятно?
Дано два равных треугольника. Помимо того, что эти трегольники равны, они еще имет одно и то же направление вращения (или одно и то же направление обхода контура). (Грубо говоря их можно совместить вращением плюс поступательным перемещением, а не симметрией относительно некоторой прямой, или если хотите такой прямой не существует). И далее, треугольники эти расположены так, что некоторые две соответственно равные стороны в них перпендикулярны друг другу.
Нужно доказать, что другие соотвественно равные (то есть остальные две пары соответственно равных сторон) также перпендикулярны друг другу.

ЧТо касается второй задачи, ну давайте так ее сформулируем.
Дан треугольник ABC. На сторонах AB и AC строятся квадраты соответственной ABDE и ACFG.
Из вершины A к стороне BC проводится медиана. AM. Доказать, что эта медиана равна половине EG и проходит перпендикулярно EG.

Что касается равенства половины, то там проще доказывается без всяких векторов. Достаточно продолжить эту медиану на ее длину MP и рассмотреть 2 треугольника ABP и EAG.
Втоорая же часть (перпендикулярность) вытаскивается уже из первой задачи.

[ShMaxG]

По поводу первой написал.
По поводу второй - да, согласен, что ваш способ решения лучше (хотя надо ли это кому? лучше...).
Но во второй задаче вы сами нигде не использовали направление угла.

[Sasha2]

По поводу второй (да забыл, что конечно, квадраты внешние, оба)
Нет использовал. Соответственные стороны BP и AG перпендикулярны. Слелдовательно и AP перпендикулярны EG, так как эти две стороны в этих двух треугольниках соответственные.

Первая вообще то не задача, а лемма, используя которую, решается вторая задача.
Вот еще. В той же самой конструкции (трегольник и два квадрата, все аналогично) показать, что точка пересечения отрезков CD и BF лежит на высоте треугольника ABC. А также четвертая вершина параллелограмма, у которых тремя первыми являются E, A и G, также лежит на высоте (или ее продолжении) треугольника ABC.
Естественно, имеется ввиду высота, выходящая из вершины A.

[ShMaxG]

Sasha2 в сообщении #235204 писал(а):

По поводу второй (да забыл, что конечно, квадраты внешние, оба)
Нет использовал. Соответственные стороны BP и AG перпендикулярны. Слелдовательно и AP перпендикулярны EG, так как эти две стороны в этих двух треугольниках соответственные.

Так где же оно, направление? Вы использовали только факт перпендикулярности.

[Sasha2]

Ах да.
Так вот еще нужно, естественно указать, что сравниваемые треугольниики ABC и EAG ИМЕЮТ ОДНО и то же направление.
Без этого получалось бы, что ответ (имеется в виду перпендикулярность) был бы верен не только для треугольника EAG, но и для треугольника, ему симметричного (когда на одной стороне треугольника строятся два квадрата наших квадрата, ну думаю Вам понятно, о какой конструкции идет речь)

[ShMaxG]

Sasha2 в сообщении #235248 писал(а):

Ах да.
Так вот еще нужно, естественно указать, что сравниваемые треугольниики ABC и EAG ИМЕЮТ ОДНО и то же направление.

Так это же совсем-совсем другое! С направлениями углов ничего общего. Потому что второй треугольник, равный первому, можно получить как поворотом против часовой стрелки, так и по часовой стрелке - вот разные направления поворотов.

[Sasha2]

Второй треугольник равный первому и ОДНОГО С НИМ НАПРАВЛЕНИЯ можно получить поворотом его на ЛЮБОЙ угол (неважно по часовой или против часовой стрелки). Но можно еще получить два равных НО ПРОТИВОПОЛОЖНОГО направления треугольника, выполнив симметрию первого отнисительно любой из сторон, на которых мы строим два указанных квадрата. Это и соответствует тому случаю, который я указал.

P.S. А чем по Вашему направления вращения в треугольнике отличаются от направления вращения в углах? Возьмите два треугольника, выберите три точки на нем и укажите, какая первая, какая вторая какая последня, аналогично с углами (только вершина всегда вторая). Если направление угла положительно, то и треугольника положительно и обратно.

Но меня честно говоря интересует не это.
А вот к примеру. Есть утверждение, что два угла симметричных друг другу имеют противоположные направления вращения. Как это проверять в конкретных условиях?

[ShMaxG]

Ну хорошо, что такое направление треугольника? На самом деле, я такого понятия никогда не встречал.

-- Сб авг 15, 2009 14:12:07 --

Sasha2 в сообщении #235296 писал(а):

А вот к примеру. Есть утверждение, что два угла симметричных друг другу имеют противоположные направления вращения. Как это проверять в конкретных условиях?

Как обычно, путем логики.

[Sasha2]

Нет ну, конечно, не направление треугольника, а направление вращения. Просто одно слово, чисто из экономии часто выкидывается из речи. Естественно направление (читай направление вращения) треугольника определяется только после указания, какая из его вершин первая, какая вторая, а какая последняя. Ну не удивляет же Вас, что направление отрезка тоже определяется только после того, как Вы укажете, какая из его точек первая, а какая вторая. Так вот определяя направление, треугольника мы считает, что смотрим на него как бы сверху.И если направление от первой к третьей через вторую по часовой стрелке, то треугольник имеет положительное направление. Да грубо говоря, так можно с любым замкнутым контуром поступить.

Вопрос тут в другом, как проверять что два угла или треугольника имеют одно и то же направление или разные направления. Непонятно как рассуждение проводить. Ну вот хотя бы элементарно. Даны два прилежащих угла ABC и ABD. Понятно, что они имеют противоположные направления. Но как это оформить граммотно. Или достаточно сказать типа "из рисунка и так понятно".

[ShMaxG]

А, ну теперь стало понятней.

Sasha2 в сообщении #235304 писал(а):

Даны два прилежащих угла ABC и ABD. Понятно, что они имеют противоположные направления.

Откуда же понятно? Угол ABD можно рассматривать как угол направления против часовой стрелки, и угол ABC точно так же. А можно рассматривать и как имеющие противоположные направления.

Википедия в статье http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D0%B3%D0%BE%D0%BB писал(а):

Ряд практических задач приводит к целесообразности рассматривать угол как фигуру, получающуюся при вращении фиксированного луча вокруг точки О (из которой исходит луч) до заданного положения.

Так вот угол ABD можно рассматривать как угол, получающийся при вращении луча BD вокруг точки В. А угол ABD - (...) при вращении луча AB вокруг точки B. Направления этих лучей - равны.

[Sasha2]

А про то, что эти два угла прилежащие Вы забыли? (нет ну и разумеется оба угла меньшее 180).