2
Roman80Цитата:
Только одна загвоздка: функции эти разных переменных. Т.е. под общий знак производной не загонишь. f(x)dx=g(y)dy
Кажется, именно такая формулировка есть нонсенс, ибо не удовлетворяет определению понятия "равенство функций" (правда проканывает если

,

). К тому же, возможно, вы ошиблись, ведь

-- не дифференциал

.
Так, что попробую порассуждать о формулировке, которую подразумевали другие участники с самого начала дискуссии, i.e. над формулировкой:
Цитата:
Как доказать, что если равны дифференциалы функций, то равны и функции (с точностью до константы)?
По-моему сама теорема Лагранжа здесь плоха тем, что на одном и том же интервале, точка, удовлетворяющая теореме, не единственна (?), и, поэтому, необходимо специально оговаривать выбор одной и той же точки для проверки равенства производных в ней.
Можно пояснить связь между равенством функций, равенством их дифференциалов и обобщением теоремы Лагранжа -- теоремой Коши о среднем значении -- примерно так.
Пусть

-- исходные непрерывные (вроде-бы необязательно гладкие) функции. Если

, то

, и, следовательно,

. Нужно доказать, что в этом случае

.
Можно произвольно выбрать ненулевой отрезок
![$[a,\ y]$ $[a,\ y]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/d/8/2d8cd8e976357d95b91f005e91a461a082.png)
, и на нём, по теореме Коши, будет выполняться равенство

где
![$\xi\in]a,\ y[$ $\xi\in]a,\ y[$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/9/1a9a2ad494a5b9b6487927115f34ed5782.png)
.
Так как

, то, следовательно,

. Если считать

переменной, а

, то получается

, q.e.d.
Думаю, такой подход немного более нагляден...