Пример возрастающих последовательностей
![$a(n)$ $a(n)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/1/eb1e4d26da404d5c7d56055c19d365a082.png)
,
![$b(n)$ $b(n)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/4/6/14619328ba0e9a59db400bd29792af8082.png)
,
![$c(n)$ $c(n)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/5/dd5b89823b96df7204768b86a4133a7182.png)
,
![$d(n)$ $d(n)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/d/34d65b7dcd5697c21251cec6f7ff41b082.png)
натуральных чисел, обладающих свойствами
1) ряд
![$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{a(b(n))}$ $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{a(b(n))}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/7/f/e7fef07b62fad2a9ffaeb28f1c9e72a282.png)
сходится,
2) ряд
![$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{a(d(n))}$ $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{a(d(n))}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/f/c/8fcc113ec438f36a2c6dda1dfe75893c82.png)
расходится,
3) ряд
![$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{c(b(n))}$ $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{c(b(n))}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/1/2/b1252bbb8f937559b18d6a0acca7cbc482.png)
расходится,
4) ряд
![$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{c(d(n))}$ $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{c(d(n))}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/d/4/9d4c1bcfa50f4eaed15e310b7fffb99882.png)
сходится.
Для удобства построений обозначим через
![$\bf N$ $\bf N$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/e/f0e0b4633d26f8875bfb199ca70b000782.png)
последовательность кружочков
![$K_n$ $K_n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/b/96b697078d351b7b43bd5b5dce0254cd82.png)
, в которые будем вписывать
натуральные числа. Отрезком назовем конечное множество идущих подряд кружочков из
![$\bf N$ $\bf N$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/e/f0e0b4633d26f8875bfb199ca70b000782.png)
, а длиной отрезка -- количество содержащихся в нем кружочков.
![$\bf N$ $\bf N$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/e/f0e0b4633d26f8875bfb199ca70b000782.png)
разобъем на счетное множество непересекающихся отрезков:
![$B_1, D_1, B_2, D_2, \ldots $ $B_1, D_1, B_2, D_2, \ldots $](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/b/b/7bbc6e20b115202c2768b5c8e0c616ad82.png)
. То есть, нечетные
отрезки будем обозначать
![$B_n$ $B_n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/c/34c759c10ccac82213a2aa1a2bed361b82.png)
, а четные
![$D_n$ $D_n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/b/7/bb793be460ed9597219f621d685695b682.png)
.
![$B_n$ $B_n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/c/34c759c10ccac82213a2aa1a2bed361b82.png)
имеет длину
![$(2n-1)!$ $(2n-1)!$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/1/c/11c68ca92ebc4b589d3d55575e0c806082.png)
,
![$D_n$ $D_n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/b/7/bb793be460ed9597219f621d685695b682.png)
имеет длину
![$(2n)!$ $(2n)!$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/3/d03a86c72104aed2a0622540990b34cb82.png)
.
Итак,
![$B_1=\{K_1\}$ $B_1=\{K_1\}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/d/4/5d4729d7dcca96324f943f0d1d23468a82.png)
,
![$D_1=\{K_2,K_3\}$ $D_1=\{K_2,K_3\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/1/a/c1ae817af467fcbb96d625eb5fd8cb9082.png)
,
![$B_2=\{K_4,K_5,K_6,K_7,K_8,K_9\}$ $B_2=\{K_4,K_5,K_6,K_7,K_8,K_9\}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/7/0a757f9cc7f1d83fa8d22b41b62c775582.png)
,
![$D_2=\{K_{10},K_{11},K_{12},\ldots,K_{33}\}, \,\ldots$ $D_2=\{K_{10},K_{11},K_{12},\ldots,K_{33}\}, \,\ldots$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/8/a/58a2617e2818f96e9682ff4c0d3ce38282.png)
.
Определим последовательность
![$a(n)$ $a(n)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/1/eb1e4d26da404d5c7d56055c19d365a082.png)
.
Обозначим объединение отрезков
![$B_n$ $B_n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/c/34c759c10ccac82213a2aa1a2bed361b82.png)
и
![$D_n$ $D_n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/b/7/bb793be460ed9597219f621d685695b682.png)
через
![$I_n$ $I_n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/4/c/04c9bb763257fc1746a9005d8448471682.png)
. Отрезки
![$I_n$ $I_n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/4/c/04c9bb763257fc1746a9005d8448471682.png)
не пересекаются между собой и покрывают
все множество
![$\bf N$ $\bf N$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/e/f0e0b4633d26f8875bfb199ca70b000782.png)
. Отрезок
![$I_n$ $I_n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/4/c/04c9bb763257fc1746a9005d8448471682.png)
имеет длину
![$(2n-1)!+(2n)!$ $(2n-1)!+(2n)!$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/c/93c5b96c34b9c5f078e042eef4b801f082.png)
.
Заполним отрезки
![$I_n$ $I_n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/4/c/04c9bb763257fc1746a9005d8448471682.png)
натуральными числами, то есть, в кружочки впишем числа из
![$\mathbb N$ $\mathbb N$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/6/a76bc60b8ab614c43a72e09bf81806ee82.png)
, так, что
![$I_n$ $I_n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/4/c/04c9bb763257fc1746a9005d8448471682.png)
заполнен последовательными натуральными числами, последнее из которых
![$(2n+1)!$ $(2n+1)!$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/d/d5df87e6414e9d685137e0a56e2e30ae82.png)
. Проделав такую операцию для каждого
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
, получим последовательность
![$a(n)$ $a(n)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/1/eb1e4d26da404d5c7d56055c19d365a082.png)
.
Запишем начало этой последовательности.
![$a(1)=4, a(2)=5, a(3)=6$ $a(1)=4, a(2)=5, a(3)=6$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/1/9/e1977fb3a72ac83c7de3b480a90beb0982.png)
, соответствуют
![$I_1$ $I_1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/9/0/d906cd9791e4b48a3b848558acda589982.png)
.
![$a(4)=91, a(5)=92, \ldots, a(32)=119, a(33)=120$ $a(4)=91, a(5)=92, \ldots, a(32)=119, a(33)=120$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/b/3/db32ea0a1b87ea56f9b43fdabba06ab882.png)
, соответствуют
![$I_2$ $I_2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/e/f/9eff113852463b85a970d2d65d52280c82.png)
.
Теперь определим последовательности
![$b(n)$ $b(n)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/4/6/14619328ba0e9a59db400bd29792af8082.png)
и
![$d(n)$ $d(n)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/d/34d65b7dcd5697c21251cec6f7ff41b082.png)
.
Занумеруем все кружочки объединения отрезков
![$B_n$ $B_n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/c/34c759c10ccac82213a2aa1a2bed361b82.png)
. Пусть некоторый кружочек при такой нумерации
имеет номер
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
, тогда число
![$b(k)$ $b(k)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/b/2/5b2a930dc245dc8fb8d08f745e13c99182.png)
равно номеру этого кружочка во множестве
![$\bf N$ $\bf N$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/e/f0e0b4633d26f8875bfb199ca70b000782.png)
.
Подобным образом получим последовательность
![$d(n)$ $d(n)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/4/d/34d65b7dcd5697c21251cec6f7ff41b082.png)
: занумеруем все кружочки из объединения отрезков
и положим
![$d(k)$ $d(k)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/e/d0e5c7ab1b9cb4afcfac81e0b0cb083382.png)
равным номеру кружочка во множестве
![$\bf N$ $\bf N$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/e/f0e0b4633d26f8875bfb199ca70b000782.png)
.
Начала этих последовательностей:
![$b(1)=1$ $b(1)=1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/9/6/6960a37f2df9342337b7e7115a8b55a582.png)
, соответствует отрезку
![$B_1$ $B_1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/4/fe468915e44d9e34d437fbf99b37180982.png)
,
![$b(2)=4$ $b(2)=4$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/6/bc69edcbeec5680c0f3e4358c09658a482.png)
,
![$b(3)=5$ $b(3)=5$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/2/8/328117ee53fd571c543f9162b322e44b82.png)
,
![$b(4)=6$ $b(4)=6$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/8/81880b90c512791d88c84064eeaca57682.png)
,
![$b(5)=7$ $b(5)=7$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/5/df561586c76f0caadc5e40c11652ec6782.png)
,
![$b(6)=8$ $b(6)=8$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/b/6/5b62cc5e239362816a1139911334a42c82.png)
,
![$b(7)=9$ $b(7)=9$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/d/d/8dd1ee24252402eb6bf9732ec698d30f82.png)
, соответствует отрезку
![$B_2$ $B_2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/b/7/2b7de9b9b655b068f97484efba8812fb82.png)
,
![$b(8)=34$ $b(8)=34$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/7/9173f278b16a88ba1655b8dd5482fb4382.png)
,
![$b(9)=35$ $b(9)=35$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/1/f/d1f5b84a551062642e1618be9b66d29982.png)
,
![$\ldots$ $\ldots$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/3/7/e378afcd7cae11e7306c61a9c35bf6cf82.png)
,
![$b(127)=153$ $b(127)=153$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/5/0/b5061ceb99063aca1f40919bf435efa882.png)
, соответствует отрезку
![$B_3$ $B_3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/6/f/a6fb7ab6f947958b6b1524e2e10f367882.png)
,
![$d(1)=2$ $d(1)=2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/6/d06c39c3ad75bd678de86acda0032cf282.png)
,
![$d(2)=3$ $d(2)=3$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/0/5/205bdddeb835c2a2a951225310eabb3f82.png)
, соответствует отрезку
![$D_1$ $D_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/4/eb4779c5fded13881cb5f169b1f10c7382.png)
,
![$d(3)=10, d(4)=11, \ldots , d(26)=33$ $d(3)=10, d(4)=11, \ldots , d(26)=33$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/d/b/fdbf75a9006d373f43bb922a5ca03b4b82.png)
, соответствует отрезку
![$D_2$ $D_2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/f/0/9f0028b414617caf75a357cfb98e749782.png)
,
![$d(27)=153, d(28)=154, \ldots , d(746)=873, \ldots $ $d(27)=153, d(28)=154, \ldots , d(746)=873, \ldots $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/9/9/699e45608d8c50a4ad6b8a6c52a595d182.png)
, соответствует отрезку
![$D_3$ $D_3$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/8/7/4878220fd753136218086e9d7150d39682.png)
.
Последовательности
![$a$ $a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/4/b/44bc9d542a92714cac84e01cbbb7fd6182.png)
,
![$b$ $b$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/b/d/4bdc8d9bcfb35e1c9bfb51fc69687dfc82.png)
,
![$d$ $d$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/0/2103f85b8b1477f430fc407cad46222482.png)
удовлетворяют условиям 1) и 2).
Построим последовательность
![$c(n)$ $c(n)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/5/dd5b89823b96df7204768b86a4133a7182.png)
.
Обозначим объединение отрезков
![$D_n$ $D_n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/b/7/bb793be460ed9597219f621d685695b682.png)
и
![$B_{n+1}$ $B_{n+1}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/5/3/3532c8baacd53495c7b2716a25c983fb82.png)
через
![$J_n$ $J_n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/b/4/6b4a2775dd03cfb6c2c23ab67936263e82.png)
,
![$n\in \mathbb N$ $n\in \mathbb N$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/4/2a48109f118c6967bf0494963625a1ad82.png)
.
Отрезки
![$J_n$ $J_n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/b/4/6b4a2775dd03cfb6c2c23ab67936263e82.png)
не пересекаются между собой и покрывают множество
![${\bf N}\setminus \{K_1\}$ ${\bf N}\setminus \{K_1\}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/3/8/b38688a63c20c71b8b7e9b001226587782.png)
.
Отрезок
![$J_n$ $J_n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/b/4/6b4a2775dd03cfb6c2c23ab67936263e82.png)
заполним последовательными натуральными числами, наибольшее из
которых
![$(2n+2)!$ $(2n+2)!$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/8/b/38b620e19fc4859cb27c0498dd81819082.png)
. Тогда все кружочки кроме первого окажутся заполнеными, а
получившуюся последовательность обозначим
![$c(n)$ $c(n)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/5/dd5b89823b96df7204768b86a4133a7182.png)
,
![$n=2,3, \ldots , $ $n=2,3, \ldots , $](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/3/e/23e445f2418737008d3c8a62f5fa05dc82.png)
. Положим,
![$c(1)=1$ $c(1)=1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/6/2/462be099346c48d0a846c17da07bb57a82.png)
.
Построенные последовательности удовлетворяют всем четырем условиям.
Исследования сходимости рядов не привожу. Во всех четырех случаях его можно
провести при помощи оценок сумм, которые элементарны из-за монотонности.
Вопрос к Paata. Откуда выскочила такая интересная задача?