Собственно, вывод Блэка-Шолса через матожидание появился едва ли не раньше, чем родились Блэк и Шолс. Очень похожая формула, если верить Соросу, была в учебнике начала ХХ века.
Но её, как основание для торговли, всерьёз не воспринимали. Было очевидно, что покупка опциона сродни страхованию, а продажа - страховому бизнесу. А страховая премия, если она равна матожиданию убытка, это гарантированное разорение страховщика, для неразорения нужно сделать её больше МО. Предполагалось, что при расчёте нужно, прежде всего, учитывать "функцию полезности", которая неизвестна, во-вторых, учитывать вероятности движений. А расчёт по формуле - академическое упражнение, в лучшем случае основа для грубой прикидки.
Основная заслуга БШ не в выводе формулы (тем более не в создании аппарата - им уже лет сто с лишком пользовались теплотехники), а в убеждении широкой публики, что условия вывода имеют место в реальности. А именно "нет арбитража" (вообще-то тогда массы спекулянтов помрут с голоду...), нет "премии за риск" (и тогда райтеры опционов, получая в среднем столько же, сколько отдают, будут поочерёдно выходить в ноль капитала и уходить с рынка), зато есть все мыслимые опционы (непрерывная шкала страйков) и ликвидность абсолютна. И если для вывода через матожидание эти предположения надо высказать явно и прежде аналитичеких выкладок, и голизна короля становится видна сразу же, то вывод через дифуры, в которых предположения вводятся постепенно, позволяет их замаскировать среди чисто математических трудностей. Надо сказать, что до их работы эти предположения были куда более фантастичны, чем после. Масса спекулянтов, привлечённых рассуждениями об отсутствии риска, об "идеальном хеджинге" создала достаточную ликвидность на этом рынке, так что в определённом смысле БШ это "самосбывающийся прогноз".
Однако в реальности есть и расхождение между "ценой БШ" и рыночной, объясняемое отчасти этой самой "премией за риск" (то есть для райтера это уже игра с положительным матожиданием, а для покупателя опциона это страховка, плановый убыток взамен риска полного краха), есть и беспрерывно возникающий (но, благодаря толпам спекулянтов, быстро съедаемый ими) арбитраж, вот разве что нет "непрерывной шкалы страйков", но тут можно комбинировать соседние.
Сам вывод через МО несложен, и даже можно вывести другие моменты.
http://www.htinvest.ru/publication/razd ... hp?ID=3660Вот насколько это поможет торговать с прибылью - не вем...
Вы по каковски интеграл берете? ![$\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{W = \ln S} \\
{f(S) = \varphi (\ln S)\frac{1}
{S} = \frac{{\varphi (W)}}
{{{e^W}}}} \\
\end{array} } \right.\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/0/290cfd01b12a048c40e33162e1e7b93782.png "$\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{W = \ln S} \\
{f(S) = \varphi (\ln S)\frac{1}
{S} = \frac{{\varphi (W)}}
{{{e^W}}}} \\
\end{array} } \right.\]$")
![$\[\int_X^\infty {{S^2}} f(S)dS\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/f/6/bf6eaa7161a26d77b9fb331539261ce182.png "$\[\int_X^\infty {{S^2}} f(S)dS\]$")
после замены у Вас следует: ![$\[\int_{\ln X}^\infty {{e^{2W}}} \frac{{\varphi (W)}}
{{{e^W}}}dW\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/0/700872a687ec1a97d267eb063344443282.png "$\[\int_{\ln X}^\infty {{e^{2W}}} \frac{{\varphi (W)}}
{{{e^W}}}dW\]$")
![$\[dW = \frac{{dS}}{S}\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/0/3/f033553ce02a6a20bb7a4ac196acc9fc82.png "$\[dW = \frac{{dS}}{S}\]$")
и тогда вроде как: ![$\[\[\int_{\ln X}^\infty {{e^{2W}}} \varphi (W)dW\]
\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/7/9/579ee79a570ba3a80e9b001894d4400982.png "$\[\[\int_{\ln X}^\infty {{e^{2W}}} \varphi (W)dW\]
\]$")
