"Женская" логика: более-менее серьёзно

[Droog_Andrey]

В данной теме предпринимается попытка расширить булеву логику до "женской" дополнением значений "истина", "ложь" значением "может быть".

Собственно, результат является частным случаем k-значной логики, однако рассматривать его в таком контексте малоконструктивно (элементарные функции в k-значных логиках привязаны к остаткам mod k, существует несколько обобщений отрицания и т.п.); в то же самое время практичность рассматриваемой 3-значной логики не вызывает сомнений: появляется возможность использовать недоказуемые утверждения, существенно расширяется множество выводимых формул и т.д.

Итак, начнём, как обычно, с исчисления высказываний. Будем присваивать значение "может быть" высказываниям, о которых принципиально нельзя сказать, истинны они или ложны, и обозначать его знаком вопроса "?".

Попробуем составить таблицы элементарных логических операций (первая переменная определяет строку, вторая - столбец):


Отрицание: $\overline{0} = 1$, $\overline{1} = 0$, $\overline{?} = ?$.

Не возникает ли у Вас сомнений по поводу значений $? \Rightarrow 0$, $1 \Rightarrow ?$ или каких-нибудь других?

Какие ещё операции следовало бы определить на нашем множестве из трёх элементов, и каким образом? Скажем, следует ли определять "исключающее или" традиционно, как отрицание эквиваленции?

Быть может, Вам известны ли какие-то существующие наработки в этом направлении, - поделитесь, если не трудно, ссылками на источники, дабы не изобретать велосипед.

P.S. Как раз такой источник: http://dxdy.ru/post234821.html#p234821
P.P.S. Подробнее об интуиционизме: http://www.intuitionism.org/

[fnake]

Ознакомтесь с работой
http://mitya.pp.ru/woman.htm.

[Droog_Andrey]

fnake в сообщении #234091 писал(а):

Ознакомтесь с работой
http://mitya.pp.ru/woman.htm.

Эта работа мне хорошо известна

Там речь идёт не совсем о женской логике, скорее о принципах общения у женщин. В данной теме это скорее офтоп.

[maxal]

Это т.н. "нечёткая логика" (fuzzy logic) - погуглите.
Вот, например, популярная статья из Компьютерры:
http://www.computerra.ru/offline/2001/415/13052/

[Cave]

Непонятно, почему $? \Rightarrow ?$. Ведь левый $?$ вполне в итоге может оказаться истиной, а правый - ложью.

[Droog_Andrey]

Проверим, являются ли тавтологиями ФЛВ, аналогичные основным тавтологиям булевой логики.

1. $p \vee \overline{p}$ (закон исключённого третьего) - не тавтология ($?$ при $p=?$)
2. $\overline{\overline{p}} \Leftrightarrow p$ (закон двойного отрицания) - тавтология
3. $p \wedge p \Leftrightarrow p$, $p \vee p \Leftrightarrow p$ (законы идемпотентности) - тавтологии
4. $p \Rightarrow p \vee q$, $p \wedge q \Rightarrow p$ (внесение и исключение переменной) - тавтологии
5. $p \wedge q \Leftrightarrow q \wedge p$, $p \vee q \Leftrightarrow q \vee p$ (законы коммутативности) - тавтологии
6. $\overline{p \wedge q}} \Leftrightarrow \overline{p} \vee \overline{q}$, $\overline{p \vee q}} \Leftrightarrow \overline{p} \wedge \overline{q}$ (законы де Моргана) - тавтологии
7. $(p \Rightarrow q) \Leftrightarrow (\overline{q} \Rightarrow \overline{p})$ (закон контрапозиции) - тавтология
8. $(\overline{p} \Rightarrow q) \wedge (\overline{p} \Rightarrow \overline{q}) \Rightarrow p$ (закон косвенного доказательства) - не тавтология ($?$ при $p=0, q=?$ и при $p=?, q=?$)
9. $(p \Leftrightarrow q) \Leftrightarrow (\overline{p} \Leftrightarrow \overline{q})$ (закон противоположности) - тавтология
10. $(p \Leftrightarrow q) \Leftrightarrow (p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p)$ (разложение эквиваленции по импликациям) - тавтология
11. $(p \Leftrightarrow q) \Leftrightarrow (p \wedge q) \vee (\overline{p} \wedge \overline{q})$ (разложение эквиваленции по конъюнкциям) - не тавтология ($?$ при $p=q=?$)
12. $(p \Rightarrow q) \Leftrightarrow (\overline{p} \vee q)$ (преобразование импликации) - не тавтология ($?$ при $p=q=?$)
13. $p \wedge q \Leftrightarrow \overline{p \Rightarrow \overline{q}}$ (преобразование конъюнкции) - не тавтология ($?$ при $p=q=?$)
14. $p \vee q \Leftrightarrow (\overline{p} \Rightarrow q)$ (преобразование дизъюнкции) - не тавтология ($?$ при $p=q=?$)
15. $p \wedge (q \wedge r) \Leftrightarrow (p \wedge q) \wedge r$, $p \vee (q \vee r) \Leftrightarrow (p \vee q) \vee r$ (законы ассоциативности) - тавтологии
16. $p \wedge (q \vee r) \Leftrightarrow (p \wedge q) \vee (p \wedge r)$, $p \vee (q \wedge r) \Leftrightarrow (p \vee q) \wedge (p \vee r)$ (законы дистрибутивности) - тавтологии
17. $(p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow r) \Rightarrow (p \Rightarrow r)$ (закон транзитивности импликации) - не тавтология ($?$ при $p=1, q=?, r=0$)
18. $(p \Leftrightarrow q) \wedge (q \Leftrightarrow r) \Rightarrow (p \Leftrightarrow r)$ (закон транзитивности эквиваленции) - не тавтология ($?$ при $p=0, q=?, r=1$ и при $p=1, q=?, r=0$)
19. $(p \vee q) \wedge ((p \Rightarrow r) \wedge (q \Rightarrow r)) \Rightarrow r$ (закон разбора случаев) - не тавтология ($?$ при $p=0, q=?, r=0$, при $p=?, q=0, r=0$ и при $p=?, q=?, r=0$)
20. $(p \vee q) \Rightarrow r \Leftrightarrow (p \Rightarrow r) \wedge (q \Rightarrow r)$ (дистрибутивность импликации) - тавтология

Как видим, нарушения некоторых привычных законов вскрывают весьма необычную природу значения "может быть". Что интересно, это самое значение весьма физично: оно соответствует отсутствию определённой информации об объекте и встречается сплошь и рядом в квантовой механике.

Cave в сообщении #234130 писал(а):

Непонятно, почему $? \Rightarrow ?$. Ведь левый $?$ вполне в итоге может оказаться истиной, а правый - ложью.

Тут дело в том, что $?$ принципиально не может оказаться ни истиной, ни ложью. То есть, "может быть" здесь не в смысле "мы ещё не узнали, правда это или ложь", а в смысле "это ни правда, ни ложь".

Я вот сейчас увидел, что попытки изменить значения в приведённых выше таблицах логических операций резко увеличивают количество контрпримеров привычным нам логическим законам (т.е. становится больше случаев, при которых формулы (1) - (19), аналогичные тавтологиям булевой логики, принимают значения, отличные от 1). Те же "нарушения", которые есть сейчас, вполне объяснимы (например, для закона косвенного доказательства они вообще очевидны).

maxal в сообщении #234096 писал(а):

Это т.н. "нечёткая логика" (fuzzy logic) - погуглите.
Вот, например, популярная статья из Компьютерры:
http://www.computerra.ru/offline/2001/415/13052/

"Нечёткая логика" - это сложнее, с количественными оценками этого самого "может быть" из аппарата теории нечётких множеств. А в предлагаемой схеме всё вполне чётко.

P.S. Добавил 20-й пункт в список тавтологий.

[maxal]

Droog_Andrey в сообщении #234135 писал(а):

"Нечёткая логика" - это сложнее, с количественными оценками этого самого "может быть" из аппарата теории нечётких множеств. А в предлагаемой схеме всё вполне чётко.

Ну тогда см. троичная логика.

[Droog_Andrey]

maxal в сообщении #234143 писал(а):

Ну тогда см. троичная логика.

Вижу, что иду по следам Лукасевича

Значит, нужно поискать его работы.

Но вообще довольно практичная логика получается, согласитесь.

[arseniiv]

Эта статья, даже недавно дописанная кем-то, всё-таки не очень хороша. Ну разве $0 \vee ? = 0$?

-- Пн авг 10, 2009 21:52:14 --

Как-то я такую троичную систему тоже строил, но с каким-то законом двоичной логики у меня не сошлось... И с этой статьёй. Тогда она была меньше (где-то полгода назад) и намного хуже

[Профессор Снэйп]

Droog_Andrey в сообщении #234081 писал(а):

Не возникает ли у Вас сомнений по поводу значений $? \Rightarrow 0$, $1 \Rightarrow ?$...

Возникают Но тут вроде уже много чего в теме написали, надо почитать сначала

[arseniiv]

А вот таблицы Droog_Andrey'а для и, или и эквивалентности такие же, как у меня тогда получились. Об импликации лучше ничего не скажу, с ней у меня не очень-то было. Вообще, при определённых $\neg ,\, \wedge ,\, \vee$ нельзя ли её выводить по формуле двузначной логики $a \to b = \neg a \vee b$? Пусть скажут логические специалисты...

[Droog_Andrey]

arseniiv в сообщении #234185 писал(а):

Вообще, при определённых $\neg ,\, \wedge ,\, \vee$ нельзя ли её выводить по формуле двузначной логики $a \to b = \neg a \vee b$?

При этом получается т.н. материальная импликация. Таблица в первом посте соответствует, как оказалось, импликации Лукасевича (ИМХО, она более практична), отличающейся от материальной в одном случае:

Droog_Andrey в сообщении #234135 писал(а):

12. $(p \Rightarrow q) \Leftrightarrow (\overline{p} \vee q)$ (преобразование импликации) - не тавтология ($?$ при $p=q=?$)

(см. процитированный пост далее, там как раз по поводу $? \Rightarrow ?$).

[arseniiv]

Что мне не понравилось в своей той модели, то, что если считать ? не просто отдельным значением, а "незнанием значения ($0$ или $1$ - неизвестно)", то тогда $a \vee \neg a \leftrightarrow 1$ и идемпотентность для $?$ рушится. Значит, просто данный закон для данной системы неверен, наверно? А тогда это меня в тупик поставило
. Хотя вроде закон исключенного третьего не входит в аксиомы решётки, а сразу я тогда не сообразил и не знал о каких бы то ни было решётках... Имхо, троичная логика лучше двоичной для рассуждений, но вот разные виды импликации и вот эти коллизии с законами двузначной беспокоят.

Хотя в статье написано, что "двузначные" законы заменяются на аналогичные, но только как представить "закон исключенного четвёртого", я не представлю.

[Droog_Andrey]

А какие конкретно коллизии с законами двузначной логики беспокоят? Выше я привёл 25 ФЛВ, из которых 9 уже не являются тавтологиями в предлагаемой тернарной логике. Есть ли среди этих девяти беспокоящие?

arseniiv в сообщении #234237 писал(а):

как представить "закон исключенного четвёртого", я не представлю.

Очевидно, вот этой тавтологией:
($p \vee \overline{p}) \vee (p \Leftrightarrow \overline{p})$

[arseniiv]

Кстати, $p \vee \overline{p} \vee (p \Leftrightarrow \overline{p})$ в двузначной логике превратится в $p \vee \overline{p}$. Т.е. нетавтологичные для трёхзначной логики высказывания двузначной можно заменить на тавтологичные, которые для двузначного случая будут всё равно опять тавтологиями.