Неравенство (новое?) для многочлена Чебышева

[Edward_Tur]

Доказать, что $x^{n^2}\geq T_n(x)$ для $x\geq 1$, причем $n^2$ нельзя заменить меньшим числом.

[TOTAL]

Вы бы сказали, о каком именно многочлене идет речь.
(Например, различают многочлены Чебышева первого и второго рода, нормированные и нет.)

[Mr. X]

Речь идет о $T_n (x)=\cos(n\arccos x)$ для $x \in [-1,1]$.

[TOTAL]

Mr. X в сообщении #233523 писал(а):

Речь идет о $T_n (x)=\cos(n\arccos x)$ для $x \in [-1,1]$.

Откуда знаете, автор Вам сказал?

[Mr. X]

Убежден!

[Edward_Tur]

T - первого рода
U - второго рода

[mihiv]

Но из формулы $T_n(x)= \sum_{j=0}^m C_n^{2j}x^{n-2j}(x^2-1)^j,$где $m= \lfloor \frac n 2 \rfloor$, можно получить неравенство $T_n(x) < 2^{n-1}x^n$ с меньшим показателем степени.

[Edward_Tur]

Коэффициент слева - единица!

[Mr. X]

Кстати, (очевидность, но все же) ---

$T_{n}(x) \geq x^{n}$ для $ x \geq 1$, причем $n$ (в показателе степени) нельзя заменить большим числом.

[Mr. X]

В авторский замысел не вник, но все же... .

Начнем с тождества (легкое упражнение на раскрытие скобок)

$$(a^2+1)^2(a^{2k}+1)^2-4a^2(a^{2k-2}+1)(a^{2k+2}+1)=(a^2-1)^2(a^{2k}-1)^2.$$

Откуда, $(a^2+1)^2(a^{2k}+1)^2\geq 4a^2(a^{2k-2}+1)(a^{2k+2}+1).$

Значит, для $a>0, (\frac{a+a^{-1}}{2})^2\geq \frac{(a^{k-1}+a^{1-k})(a^{k+1}+a^{-1-k})}{(a^k+a^{-k})^2}. $

Перемножая эти неравенства для $k=1,2,\dots ,m,$ получаем $(\frac{a+a^{-1}}{2})^{2m+1}\geq \frac{a^{m+1}+a^{-1-m}}{a^m+a^{-m}}. $


Перемножив полученные неравенства для $m=0,1,\dots ,n-1,$ имеем $(\frac{a+a^{-1}}{2})^{n^{2}}\geq \frac{a^{n}+a^{-n}}{2}. $

Осталось взять $a=x+\sqrt{x^2-1}$ (или $x-\sqrt{x^2-1}$) и получить требуемое $x^{n^{2}}\geq T_n(x).$

[mihiv]

Может быть нужно уточнить условие задачи так: найти наименьшее $\mu$ такое,что $x^{\mu} \geq T_n(x)$ (для $x \geq 1$).
Функция $y(x)= x^ n^2$ очевидно удовлетворяет ДУ $y'(x)= n^2 \frac {y(x)}x$ с начальным условием $y(1)=1$.
ДУ, которому удовлетворяет $T_n(x)$ запишем в виде: $T_n^{'}(x)= \dfrac {(1-x^2)T_n^,с начальным условием $T_n(1)=1$. Правая часть второго из написанных ДУ отличается от правой части первого ДУ слагаемым , которое отрицательно для всех $x>1$. Т.к. начальные условия для этих у равнений одинаковы, то $T_n(x) \leq x^{ n^2}$ для $x>1$.
Запишем теперь разложение функций $y(x)= x^ \mu$ и $T_n(x)$ в точке $1$, ограничиваясь членами первого порядка: $y(x)=1+ \mu (x-1)+o((x-1)^2) ; T_n(x)=1+ n^2 (x-1) + o((x-1)^2)$, очевидно ,что если $ \mu < n^2$, то для $x$ достаточно близких к$1$доказываемое неравенство не будет выполнено. Поэтому $ \mu =n^2$ минимальное значение степени.

[Edward_Tur]

Доказать, что для $a,b,c\geq0$
$(a+b+c)^{n^2}\geq 2^{n^2-1}\sum\limits_{cyc}a^{\frac{n^2+n}{2}}(b^{\frac{n^2-n}{2}}+c^{\frac{n^2-n}{2}})$

[Mr. X]

Замечание. Исходное неравенство для многочлена Чебышева равносильно следующему $(\ch t)^{n^2}\geq \ch nt.$