Изометрия и перестановки

[Профессор Снэйп]

Пусть $n \geqslant 3$ --- натуральное число, $S_n$ --- группа всех перестановок множества $\{ 1, \ldots, n \}$ и $H$ --- произвольная подгруппа в $S_n$. Можно ли так задать метрику на множестве $\{ 1, \ldots, n \}$, что изометрическими преобразованиями полученного метрического пространства будут в точности элементы $H$?

[Руст]

Если $H$ два транзитивна, то все расстояния $r(x,y)$ между собой равны, т.е. вся группа изометрии совпадает с $S_n$. Но существуют дватранзитивные собственные подгруппы у $S_n$, поэтому нет.

[Профессор Снэйп]

Руст в сообщении #233721 писал(а):

Если $H$ два транзитивна, то все расстояния $r(x,y)$ между собой равны, т.е. вся группа изометрии совпадает с $S_n$. Но существуют дватранзитивные собственные подгруппы у $S_n$, поэтому нет.

Пардон, не понял. Что такое "два транзитивная группа" (или "дватранзитивная", не знаю, как правильно)?

[Руст]

Если группа $H$ действует на множестве $X$, то она действует $k$ транзитивно, если для любых различных $k$ элементов $(x_1,...,x_k)$ и $(y_1,y_2,...,y_k)$ существует элемент $h\in H$, что $h$ переводит $(x_1,...,x_k)$ в $(y_1,...,y_k$.
Например $A_n$ (чётные перестановки) 2 транзитивны на множестве $(1,2,...,n)$ при $n>3$, соответственно при вашем соответствии Галуа между группами изометрии и метриками на этом множестве подгруппа $A_n$ не замкнута.

[Профессор Снэйп]

Спасибо, теперь понял.

А если вместо метрик рассматривать топологии и требование изометрии заменить требованием гомеоморфизма на себя?

[Руст]

Не имеет значения. Все топологии на конечном множестве имеют очень специфический вид. Точки не разделяемые группой слипаются и образуется дискретная топология на фактормножестве.

[Профессор Снэйп]

Хорошо, вернёмся к изометриям. Как-нибудь можно охарактеризовать все группы $H$, которые могут служить группами изометрий?

[Руст]

Любую группу можно представит в виде группы изометрии. Но только некоторые будут (полной) группой всех изометрий.
Последние есть замкнутые относительно замыкания, получаемого соответствием Галуа (см. Кон. Универсальная алгебра).