Крайние точки единичного шара в C[0,1]

[id]

Верно ли, что замкнутый единичный шар в $C[0,1]$ крайними точками ( не лежащие внутри любого отрезка с концами из шарика ) имеет $x(t) = 1$, $x(t) = -1$?

Все остальные вроде как не крайние.

-- Сб авг 08, 2009 14:17:44 --

Да-да-да, все так.
Это просто к доказательству нерефлексивности $C[0,1]$ с помощью компактности единичного шара в слабой топологии и Крейна-Мильмана.

[AGu]

id в сообщении #233668 писал(а):

Да-да-да, все так.

Ну нельзя же так, id! Могли бы и подождать еще хоть пару минут, чтоб дать мне ответить, что да-да-да, все так!

[id]

AGu

Просто нашел задачку у Кириллова, и решил не задерживать ответ. ( да и доказательство несложное )
А задумался над этим после поста AD в topic24351.html , после которого обнаружил вопрос о рефлексивности $C[0,1]$ в post121675.html#p121675 .
Есть же лемма о том, что единичный шар рефлексивного банахова пространства компактен в слабой топологии, и теорема Крейна-Мильмана о том, что компактное выпуклое множество в полинормированном пространстве совпадает с замыканием выпуклой оболочки крайних точек.
Ну а так как выяснили, что у шарика $C[0,1]$ таких точек только две, то в общем понятно, почему оно нерефлексивно.


Да, вопрос уже из Кириллова. Там говорится, что $C[0,1]$ ни к чему вообще не сопряжено, причем доказывается это именно с использованием факта о двух крайних точках. Как бы это дообъяснить?

[Профессор Снэйп]

id в сообщении #233668 писал(а):

Верно ли, что замкнутый единичный шар в $C[0,1]$ крайними точками ( не лежащие внутри любого отрезка с концами из шарика ) имеет $x(t) = 1$, $x(t) = -1$?

А разве это не мегаочевидно? Где тут подвох?

[AGu]

id в сообщении #233683 писал(а):

Да, вопрос уже из Кириллова. Там говорится, что $C[0,1]$ ни к чему вообще не сопряжено, причем доказывается это именно с использованием факта о двух крайних точках. Как бы это дообъяснить?

Если бы $C[0,1]$ было чьим-то сопряженным, то его шар был бы слабо* компактным, а значит, был бы слабым* замыканием выпуклой оболочки своих крайних точек.

[Профессор Снэйп]

Извиняюсь, с мегаочевидностью, похоже, поспешил

[id]

Профессор Снэйп
Ну просто сначала я доказал для всех остальных ф-й, что они крайними не являются, но не был уверен, что нужное доказательство получится, если эти точки являются крайними. Мегаочевидность в ситуации, когда не знаешь, чего конкретно хочешь получить, как-то притупляется.

Не слишком сложно, так или иначе.

-- Сб авг 08, 2009 15:11:20 --

AGu
Аа... Банах-Алаоглу?

[AGu]

id в сообщении #233691 писал(а):

Аа... Банах-Алаоглу?

Они самые.

[id]

Ясно, спасибо!

[AGu]

id в сообщении #233695 писал(а):

Ясно, спасибо!

Ура, я успел ответить!

[id]

AGu
Про Банаха-Алаоглу долго бы не вспомнил, успели бы так или иначе.

[Профессор Снэйп]

id в сообщении #233691 писал(а):

Ну просто сначала я доказал для всех остальных ф-й, что они крайними не являются...

У меня поначалу вопрос возник: "А чего там доказывать"? Потом, правда, подумал, что вполне нормальная задачка для учащихся. Типовая, конечно, но доказательство оформлять всё равно требуется.