Две константы

[dmd]

В альтернативном мире координата падающего камня выражается зависимостью
$h(t)=a_{0}t+b_{0}t^2+ct^3$,
где заданы стартовые скорость $a_{0}$, ускорение $b_{0}$ и $c=const$.
Найти вторую константу этого движения.

[Профессор Снэйп]

dmd в сообщении #233462 писал(а):

В альтернативном мире координата падающего камня выражается зависимостью
$h(t)=a_{0}t+b_{0}t^2+ct^3$,
где заданы стартовые скорость $a_{0}$, ускорение $b_{0}$ и $c=const$.
Найти вторую константу этого движения.

$$ c = \frac{h'''}{6} $$

"Задача" напоминает другую "задачу":

На теплоходе музыка играет, а я одна стою на берегу. Сколько лет бабушке капитана?

[TOTAL]

Профессор Снэйп в сообщении #233466 писал(а):

Сколько лет бабушке капитана?

Какой бабушке? Первой или второй?

[ИСН]

А на столе стояли три графина:
Один с карболовой водой,
Другой с настоем гуталина,
А третий вовсе был пустой.

[dmd]

Ответ:
$3a_{0}c-b_{0}^2=3a_{i}c-b_{i}^2=const$.

Следующая задачка. Найдите самостоятельно вторую константу в зависимости:
$h(t)=a_{0}t+b_{0}t^2+c_{0}t^3+dt^4$

[Legioner93]

А где свободный член в h(t)? В вашем мире любое тело при начале движения мгновенно перемещается в начало координат?

[dmd]

Если свободный член не задан, значит начало координат в точке старта. А вообще в данной задаче оно не существенно, ибо производные характеристики нужно рассматривать, в которых свободный член из $h(t)$ уже погашен.

[ewert]

dmd в сообщении #233556 писал(а):

Найдите самостоятельно вторую константу в зависимости:

Вы б сперва определили, что конкретно Вы почитаете за константу. А так -- на все Ваши задачки любой ёж мгновенно дасть моментальный ответ: $\pi$. И будет та константа и второй, и третьей, и двунадесятой, и какой хошь. Пока задача не поставлена.

[EtCetera]

dmd
Все это, конечно, хорошо и в альтернативных мирах, наверное, встречаются вещи и почуднее... Вот только даже в особо альтернативных мирах должны выполняться (если я правильно понял Ваши обозначения) следующие равенства:
$a=h'(t)$
$b=h''(t)$
Без этого в задаче сильно не хватает данных, да и смысл она неминуемо теряет (даже для тех, кто продрался сквозь сомнительную "вторую константу движения")... Так вот, если первое еще может иметь место при данных условиях, то второе - нет:
$h''(t)=2b_0+6ct$, $h''(0)=2b_0\neq b_0$
Соответственно, выведенное в ответе соотношение, хотя и бесспорно с математической точки зрения, сильно страдает от этого маленького замечания.
Да, и то, что Вы привели в качестве "второй константы движения" является скорее простой переформулировкой закона движения (в условии этот закон связывал перемещение и время, а в ответе - скорость и ускорение).

-- Пт авг 07, 2009 19:34:51 --

P.S. Со второй "зависимостью" те же хронические проблемы.

[dmd]

ewert в сообщении #233572 писал(а):

Вы б сперва определили, что конкретно Вы почитаете за константу.

То, что не изменится при изменении $t$. В зависимости $h(t)=a_{0}t+b_{0}t^2+ct^3$ не меняется $c$, но меняются $a=a(t)$ и $b=b(t)$. Что-то еще в ней, в этой $h(t)$, остаётся неизменным. Спрашивалось - что?

[ewert]

dmd в сообщении #233594 писал(а):

Спрашивалось - что?

Отвечается -- ничего. Третья производная, разумеется, константа при всех условиях, но вот всё остальное -- может быть константой только при каких-то допограничениях. Поскольку таковых не поступало -- нет и задачи.

[dmd]

EtCetera
Марсианин, не знакомый с вашими правилами дифференцирования, при наблюдении картины полёта камня на Земле скажет, что константой в такой картине будет $4.9 m/c^2$, а не $9.8 m/c^2$. Численное значение константы не может зависеть от правил дифференцирования и способа обозначения стартовых значений. Как угодно переобозначьте начальные скорость и ускорение, какие угодно к ним добавьте коэффициенты - изменятся формулы, но значения констант останутся неизменными. Поэтому считаю математически условия задачи вполне приемлемыми.

-- Пт авг 07, 2009 22:50:05 --

ewert в сообщении #233597 писал(а):

dmd в сообщении #233594 писал(а):

Спрашивалось - что?

Отвечается -- ничего. Третья производная, разумеется, константа при всех условиях, но вот всё остальное -- может быть константой только при каких-то допограничениях. Поскольку таковых не поступало -- нет и задачи.

Считаю, что сама функция $h(t)=a_{0}t+b_{0}t^2+ct^3$ доставляет все "допограничения" для наблюдения второй константы.

[ewert]

dmd в сообщении #233611 писал(а):

Считаю, что сама функция доставляет все "допограничения"

Напрасно. Никакая функция никаких ограничений не накладывает, пока не произнесены хоть какие-то заклинания. Функция -- это вовсе не требования. Так вот и произнесите те требования, коль Вам уж хочь чего-то хочется.

[EtCetera]

dmd
Даже если марсианин не знаком с "моими правилами дифференцирования", это не отменяет применимость этих правил к миру, в котором оно имеет счастье (или несчастье) существовать. Если же в мире не соблюдаются равенства $a=h'(t)$, $b=h''(t)$, то и соотношение, приведенное Вами в ответе к задаче, не может быть получено (без дополнительных соображений), то есть условие вообще становится неполным: зависимость перемещения от времени приведена, но каким образом с этой зависимостью связаны скорости и ускорения - непонятно.
Хорошо, на секунду представим себе, что в этом мире справедливы какие-либо другие соотношения вида
$a=f_a(h(t), h'(t), h''(t), ...)$
и
$b=f_b(h(t), h'(t), h''(t), ...)$,
и даже получается, что удовлетворяется $F(a, b, c)=Const$ (которое и является, по-Вашему, ответом; хотя на него должны быть еще наложены хоть какие-то дополнительные ограничения, как справедливо говорит ewert). Вы эти соотношения в своем условии не привели, так что и искать конкретный вид $F$ не из чего...