Гармоническиое колебание металической дуги

[Legioner93]

Металлический прут в форме дуги окружности радиусом L висит на двух легких нитях длины L каждая. Масса прута m, его поперечное сечение постоянно. Угол между нитями альфа.
На рисунке: Круговой сектор с радиусом L висит на "потолке" на точке, являющейся центром окружности этого сектора. (Т.е. острым концом)
1)Найти силу натяжения нитей в положении равновесия.
2)Найти период малых колебаний такой "дуги" в вертикальной плоскости, совпадающей с плоскостью дуги.
Силу натяжения я, конечно, нашел, а вот с периодом колебания проблемы. Я так понимаю - малые отклонения - это когда синус угла отклонения равен самому углу. Сначала пробовал вывести по аналогии с мат. маятником (у Ландсберга). Но он рассматривает движение в поверхности конуса, с шариком там проще, а вот с дугой у меня не получилось. Так же пробовал рассматривать колебание как колебание мат. маятника, предварительно найдя центр масс дуги и расстояние до него от точки подвеса. Но ответ получился громоздкий и не сошелся с ответом в задачнике. Прошу помочь в решении. Спасибо!
P.S. Я закончил 10 класс, интегрировать (для расчета ц. масс) умею, но не более, так что решение желательно школьное.

[ewert]

Интегрировать ничего не надо. Попробуйте выписать уравнение движения в варианте "момент силы (в зависимости от угла отклонения) равен минус моменту инерции на угловое ускорение". Это очень легко (если Вам, конечно, известно, о чём речь). Масса в уравнении, естественно, потом сократится.

[alex_rodin]

ewert в сообщении #233435 писал(а):

Интегрировать ничего не надо. Попробуйте выписать уравнение движения в варианте "момент силы (в зависимости от угла отклонения) равен минус моменту инерции на угловое ускорение".

Но для ведь того, чтобы найти плечо силы тяжести, все равно необходимо найти положение центра масс дуги, т. е. интегрировать.

Можно решить, используя ЗСЭ. Если дуга отклонена на малый угол $\varphi$, то можно считать, что у дуги, находящейся с состоянии равновесия отрезали кусочек длиной $L\frac\varphi\alpha$ с одной стороны и прикрепили с другой. Т. к. $\varphi$ мал, то считаем этот кусочек прямым, его центр масс — находящимся в середине.Таким образом,

$$E_p= mg\frac\varphi\alpha\left\{L\left[1-\cos\left(\frac\alpha2+\frac\varphi2\right)\right]-L\left[1-\cos\left(\frac\alpha2-\frac\varphi2\right)\right]\right\},$$

$$E_k=\frac{mv^2}2=\frac{mL^2\varphi'^2}2.$$

Если воспользоваться формулой разности косинусов и учесть, что для малых углов $\sin\beta\approx\beta$, то закон сохранения энергии из вида $E_p + E_k = E$ можно привести к виду

$$\omega^2\varphi^2+\varphi'^2=\operatorname{const},$$

где $\omega$ — циклическая частота колебаний. Дифференцированием этого выражения по времени можно доказать, что мы имеем дело с гармоническими колебаниями.

[ewert]

alex_rodin в сообщении #233469 писал(а):

Но для ведь того, чтобы найти плечо силы тяжести, все равно необходимо найти положение центра масс дуги, т. е. интегрировать.

Не нужно. При отклонении (допустим, влево) на бесконечно малый угол $\varphi$ слева высовывается ничем не уравновешенный бесконечно малый кусочек, отвечающий углу $2\varphi$. Его масса -- это $m{2\varphi\over\alpha},$ а плечо соотв. силы тяжести отн. точки подвеса -- это $L\,\sin{\alpha\over2}.$ Соответственно, уравнение:

$$m{2\varphi\over\alpha}\cdot g\cdot L\,\sin{\alpha\over2}=-mL^2\cdot\varphi'',$$

где $mL^2$ -- это момент инерции, вот и всё. (Для контроля: в пределе малых $\alpha$ получается, естественно, $g\,\varphi=-L\,\varphi''.$)

[alex_rodin]

Действительно, не нужно. Я же начал начал записывать силы, действующие на дугу полностью, поэтому у меня и не получилось без интегрирования.

[Legioner93]

Всем спасибо, буду разбираться!