Сложный интеграл

[Java]

Привет, мои дорогие Судьба злодейка свела меня с ним, с неуклюжим инегралом, до этого таких не видала, наверно не берётся. Что можете сказать?
Вот его фоторобот:
$$\int_{0}^{\pi} |sin(x)| cos(nx) dx$$ Очень не нравится x и nx..

[незваный гость]

Берется. Вас на испуг взяли . Рассмотрите отдельно интервалы, где $\sin x$ положителен и где он отрицателен. И еще -- когда $|n|= 1$ и когда не равен.

[Java]

А можно дурацкий вопрос?
\int cos(nx) dx= n \int cos(nx) dnx

верное преобразование или надо умножать на 1/n ?

[незваный гость]

Не-а.
$\int cos(nx) dx= (1/n) \int cos(nx) {\rm d} n x$.

[Руст]

Во первых sin(x) в этом интервале положителен. Поэтому представьте подинтегральное выражение в виде $\frac{\sin(n+1)x-\sin(n-1)x}{2}$ и получите результат.

[Java]

ах вот оно что! попалась, моя дорогая, тётушка Ошиба

P.S. так и запишем... 1/n...

[Brukvalub]

На отрезке интегрирования функция sin (x) неотрицательна, откинули модуль, преобразовали произведение в сумму и посмотрели в таблицу интегралов.

[Capella]

Раcсмотрим разложение функции $ |sin x|$ в ряд Фурье. Функция чётная, значит коэффициенты $b_n$ обнулятся.
Коэффициенты $a_n = \frac 1 \pi \int\limits_{-\pi}^{\pi} |sinx| \cdot cos (n \cdot x) dx = \frac 2 \pi \int\limits_0^{\pi} sin x \cdot cos( n \cdot x )dx$. И вот здесь нужно знать вот такое разложение:
$ \frac 2 \pi \int\limits_0^{\pi} sin x \cdot cos (n \cdot x) dx = \frac 2 \pi \frac 1 2 \int\limits_0^{\pi} (sin(n+1)x - sin(n-1)x) dx$
По моему, в одной из тем, такое разложение упоминал Someone, а здесь рекомендует Руст. Здесь будет несколько муторно, т.к. коэффициенты здесь тоже различны, и для нечётных $n$ они обнулятся. (используем переодичность). А вторую часть можно просто проинтегрировать синус. Напишу ответ:
$ \left\{ \begin{array}{l} 0, \phantom{0}\text{n нечётное},\\ \frac 2 \pi (\frac 1 {n+1} - \frac 1 {n - 1}) = \frac 4 \pi \frac 1 {1 - n^2}, \phantom{0} \text{n чётное}, \end{array} \right. $

[незваный гость]

Во-первых, никто не сказал, что $n$ -- целое. Во-вторых, зачем усложнять простые вещи? Для того, чтобы вычислить коэффициетны ряда Фурье, нам фактически нужно вычислить этот интеграл.... А в-третьих, ответ -- это не коэффициенты фурье, а интеграл. Так что ответ неверный.

[Capella]

незванный гость


Что значит "ответ неверный"? Я допускаю, что $n$ ещё действительно может быть не целым числом, но об этом лучше спросить Java. Но скорее всего имелось ввиду именно целое.
Насчёт ряда Фурье - я не понимаю вообще, где я что усложняю? То, что предложила представить функцию, как ряд Фурье? Ну и что?
а в третих: коэффициенты ряда Фурье представляют из себя интегралы, причём я его получила, преобразовав границы и вынеся константу. У меня получился точно такой-же интеграл, который дан по задаче. Более того, именно эти коэффициенты не обнуляются при разложении в ряд Фурье именно этой функции, по этому, полагаю, его и надо было вычислить.
Мне кажется, в моём посте, всё изложено достаточно ясно

[незваный гость]

1) Чтобы подсчитать коэффициенты р.Ф., нужно уметь считать этот интеграл. А тогда р.Ф. не нужен.

2) У Вас при вычислении коэффициентов добавился множитель $\frac2\pi$, которого нет. Итого ответ -- $\frac{1-\cos{\pi n}}{1-n^2}$ при $n \neq \pm 1,$ иначе -- $0$.