Равносоставленность квадрата и круга

[nikov]

В Википедии прочитал, что равносоставленность (при разбиении на конечное число частей) квадрата и круга одинаковой площади доказана, но источник утверждения не указан. В книге Серпинского полувековой давности сказано, что это пока открытая проблема. Вот и интересует: действительно ли это уже доказано, и где можно ознакомиться с доказательством?
---
Источники:
* Парадокс Банаха — Тарского
* В. Серпинский, "О теории множеств", Москва, "ПРОСВЕЩЕНИЕ", 1966

[Сергей Маркелов]

Да, равносоставленность квадрата и круга доказал венгерский математик Miklós Laczkovich. См. его работы:

1) Miklos Laczkovich: "Equidecomposability and discrepancy: a solution to Tarski's circle squaring problem", Crelle's Journal of Reine and Angewandte Mathematik 404 (1990) pp. 77-117.

2) Miklos Laczkovich: "Paradoxical decompositions: a survey of recent results." First European Congress of Mathematics, Vol. II (Paris, 1992), pp. 159-184, Progr. Math., 120, Birkh.user, Basel, 1994.

[Garik2]

А нельзя ли популярно рассказать об этой решенной проблеме? Думаю, это не только мне будет интересно.

[nikov]

Garik2 в сообщении #233162 писал(а):

А нельзя ли популярно рассказать об этой решенной проблеме? Думаю, это не только мне будет интересно.

Из того что я пока нашел в Интернете: доказано, что круг можно разрезать примерно на $10^{50}$ неизмеримых частей и переместить их параллельным переносом, чтобы из них составился квадрат такой же площади. Доказательство неконструктивно и использует аксиому выбора. Так что наглядно представить себе это вряд ли получится.

[Nxx]

Откуда цифру взяли? Из аксиомы выбора? )

-- Чт авг 06, 2009 19:46:19 --

На самом деле, на какие бы фигуры ни разрезали, суммарная длина выпуклых контуров должна быть такой же как суммарная длина вогнутых контуров (иначе не получится собрать квадрат, который не имеет ни выпуклых, ни вогнутых контуров). Но если их дляна равна, то невозможно собрать круг, который имеет ненулевую длину выпуклого контура. Соответственно, равносоставленными они быть не могут. Доказывается элементарно.

[Профессор Снэйп]

Я думаю, что тут под "разрезанием" понимается разбиение на множества произвольной природы, не обязательно измеримые и т. п. Так что разговор про "дляну контуров" совершенно бессмысленен.

[LetsGOX]

Вообще дело в атомарности окружающего мира, и мне кажется идеального квадрата или круга быть в реальном мире быть не может
Поэтому ели парадокс Банаха-Тарковского имеется смысл в идеальной математике, то в реальном мире он бесысленен, что и доказывает атомаронсть

[Nxx]

Профессор Снэйп в сообщении #233399 писал(а):

Я думаю, что тут под "разрезанием" понимается разбиение на множества произвольной природы, не обязательно измеримые и т. п. Так что разговор про "дляну контуров" совершенно бессмысленен.

Если мы разбиваем на конечное число множеств, то среди них должны быть имеющие ненулевую площадь. У таких множеств неизбежно есть точная линия контура (неважно, принадлежит она к самому множеству или нет). Соостветственно, к фигурам, которые образованы точными линиями контура, относится все, что я сказал ранее.

[Garik2]

Нет, друзья. Если я из $ 10^{50}$девушек найду самую-самую, то, естественно, не буду круглым дураком. Думаю - это полная аналогия с популярным изложением проблемы выбора, представленной выше

[Профессор Снэйп]

Nxx в сообщении #233423 писал(а):

Если мы разбиваем на конечное число множеств, то среди них должны быть имеющие ненулевую площадь.

Это неверно. Все множества, входящие в разбиение, могут оказаться неизмеримыми.

[Сергей Маркелов]

Nxx в сообщении #233388 писал(а):

Откуда цифру взяли? Из аксиомы выбора? )

-- Чт авг 06, 2009 19:46:19 --

На самом деле, на какие бы фигуры ни разрезали, суммарная длина выпуклых контуров должна быть такой же как суммарная длина вогнутых контуров (иначе не получится собрать квадрат, который не имеет ни выпуклых, ни вогнутых контуров). Но если их дляна равна, то невозможно собрать круг, который имеет ненулевую длину выпуклого контура. Соответственно, равносоставленными они быть не могут. Доказывается элементарно.

Суммарная длина выпуклых конторов может быть бесконечной. Замечу, что если требовать не равенства частей (в смысле совмещения движением), а аффинного равенства (совмещения аффинным преобразованием), то существует разрезание на 6 частей с гладкой границей. Может быть, и для движения тоже существует разбиение на относительно хорошие части (я не знаю).

http://www.emis.ams.org/journals/BAG/vol.48/no.2/9.html

С уважением,
Сергей Маркелов