Простое диофантово уравнение

[albega]

Доказать, что уравнение
$x^{2n}+y^{2n}=z^2$
не имеет натуральных решений при $n>1$.

[maxal]

Без потери общности можно считать, что $(x,y)=1$, $x$ - чётно, $y$ - нечётно, и поэтому:

$$\begin{cases} x^n=2uv \\ y^n=u^2-v^2=(u-v)(u+v) \\ z = u^2 + v^2\end{cases}$$

где $u,v$ - взаимно простые целые числа разной чётности.

Так как $y$ нечётно, то из взаимной простоты $u,v$ следует взаимная простота $u-v$ и $u+v$. Поэтому

$$\begin{cases} u-v=a^n\\ u+v=b^n\end{cases}$$

где $a,b$ - взаимно простые нечётные целые числа. Отсюда получаем:

$$\begin{cases} u=\frac{a^n+b^n}{2}\\ v=\frac{b^n-a^n}{2}\end{cases}$$

Рассмотрим два случая в зависимости от чётности $u,v.$

Если $u$ чётно, то из равенства $x^n=2uv$ и взаимной простоты $u,v$ следует, что $2u=w^n$ и $v=s^n$ для некоторых целых $w,s$. Поэтому

$$a^n + b^n = w^n.$$

Согласно теореме Ферма при $n>1$ это уравнение имеет решения только для $n=2.$ Однако и в этом случае $a,b$ не могут одновременно быть нечётными. Поэтому в данном случае решений нет.

Если $v$ чётно, то из равенства $x^n=2uv$ и взаимной простоты $u,v$ следует, что $2v=w^n$ и $u=s^n$ для некоторых целых $w,s$. Поэтому

$$a^n + w^n = b^n.$$

Согласно теореме Ферма при $n>1$ это уравнение имеет решения только для $n=2.$
Пусть $n=2$, тогда так как $a,b$ взаимно просты и нечётны, то

$$\begin{cases} w=2pq \\ a=p^2-q^2 \\ b = p^2 + q^2 \end{cases}$$

где $p,q$ - взаимно простые числа разной чётности. При этом равенство $u=s^n$ переписывается в виде:

$$p^4 + q^4 = s^2.$$

При этом по построению $s<x<z.$ Если исходное уравнение $x^4+y^4=z^2$ имело решение, то мы получили решение с меньшим $z$. Методом бесконечного спуска получаем, что решений здесь также нет.

[Виктор Ширшов]

albega в сообщении #233127 писал(а):

Доказать, что уравнение
$x^{2n}+y^{2n}=z^2$
не имеет натуральных решений при $n>1$.

Какое уравнение, такое и доказательство.
Сначала, сократив все показатели на 2, получим уравнение $x^n+y^n=z$, а после замены $x^n=x_1$ и $y^n=y_1$ оно примет следующий вид: $x_1+y_1=z$
Повторюсь, если скажу, что в квадрате данное уравнение - неравенство вида $x_1^2+y_1^2<z^2$, т. е. не будет иметь "натуральных решений" (очевидно, решений в целых числах), так как каждое из слагаемых меньше суммы - $x_1<z>y_1$. В кубе, биквадрате и во всех других степенях неравенство сохранится в силу одного и того же условия:$x_1<z>y_1$.
Отсюда следует, что уравнение $x^{2n}+y^{2n}=z^2$ не имеет решений в целых числах, или, говоря словами albega, не имеет натуральных решений.

Если вы шутите, то вы ошиблись разделом. Если серьезно, то рискуете получить бан за злокачественное невежество. В любом случае - пока вам лишь строгое предупреждение! // maxal