Линейная алгебра

[st256]

Как известно, в пространстве Гильберта любой вектор возможно разложить в линейную комбинацию векторов, образующих базис. А вот любая ли линейная комбинация этих базисных векторов принадлежит данному пространству Гильберта?

Ну понятно дело, что не любая. Тогда вопрос, а как называются пространства Гильберта, в которых любая комбинация базисных векторов принадлежит этому же пространству?

[AGu]

st256 в сообщении #233040 писал(а):

как называются пространства Гильберта, в которых любая комбинация базисных векторов принадлежит этому же пространству?

Они называются пространствами Гильберта.

Чтобы получить ответ на тот вопрос, который Вы подразумевали, боюсь, Вам придется привести подразумеваемое Вами определение понятия линейной комбинации (поскольку, оно явно отличается от классического).

[мат-ламер]

Тут линейные комбинации - конечные или сумма ряда? Базис Гамеля или Шаудера (см. Википедию на слово "базис")?

[st256]

мат-ламер в сообщении #233049 писал(а):

Тут линейные коминации - конечные или сумма ряда? Базис Гамеля или Шаудера (см. Википедию на слово "базис")?

Любые, значит и бесконечные тоже. Смысл в чем, есть пространство $L_2$, в котором квадрат нормы вектора ограничен. Следовательно, произвольная комбинация базисных векторов уже не обязательно попадает в $L_2$. Например, бесконечная сумма базисных векторов типа

$e^{jx}+$e^{j2x}+$e^{j3x}+$e^{j4x}+...$

уже в $L_2$ не попадает, так как имеет бесконечную энергию.

[TOTAL]

st256 в сообщении #233052 писал(а):

в котором квадрат нормы вектора ограничен

Ограничен при стремлении чего к чему?

[st256]

TOTAL в сообщении #233055 писал(а):

Ограничен при стремлении чего к чему?

Ну просто ограничен. Типа не бесконечен, а так себе...

[TOTAL]

st256 в сообщении #233059 писал(а):

Ну просто ограничен. Типа не бесконечен, а так себе...

Приведите определение нормы вектора.

[st256]

TOTAL в сообщении #233062 писал(а):

Приведите определение нормы вектора.

$\int\limits_{ -\infty}^{\infty} (f(x))^2 dx$

Извините, не правильно прочел


${||x||}^2=(x,x)$

[ewert]

st256 в сообщении #233040 писал(а):

Как известно, в пространстве Гильберта любой вектор возможно разложить в линейную комбинацию векторов, образующих базис.

Во-первых, это неправда -- не в любом гильбертовом пространстве, а только в сепарабельном.

st256 в сообщении #233040 писал(а):

А вот любая ли линейная комбинация этих базисных векторов принадлежит данному пространству Гильберта?

Во-вторых: если оно всё-таки сепарабельно, то (при условии, что "базис" ортонормирован) -- та и только та "комбинация", последовательность коэффициентов которой принадлежит $l_2$ (т.е. суммируема с квадратом). Отсюда и неприятность с Вашим рядом экспонент.

-- Ср авг 05, 2009 14:57:35 --

st256 в сообщении #233063 писал(а):

TOTAL в сообщении #233062 писал(а):

Приведите определение нормы вектора.

$\int\limits_{ -\infty}^{\infty} f(x) dx$

Ну Вы даёте.

[terminator-II]

Коллеги, не тратьте время на увещевания этого малого. Его единственная задача пошуметь, а так он абсолютно невежественен и необучаем. Посмотрите остальные его посты.

[TOTAL]

st256 в сообщении #233063 писал(а):

TOTAL в сообщении #233062 писал(а):

Приведите определение нормы вектора.

${||x||}^2=(x,x)$

Неверно. Это Вы просто нарисовали буковки.

[st256]

ewert в сообщении #233064 писал(а):

если оно всё-таки сепарабельно, то (при условии, что "базис" ортонормирован) -- та и только та "комбинация", последовательность коэффициентов которой принадлежит $l_2$ (т.е. суммируема с квадратом).

А вот про последовательность коэффициентов не понял. Откуда вдруг такие ограничения? Ссылочку можете дать?

-- Ср авг 05, 2009 15:06:34 --

TOTAL в сообщении #233067 писал(а):

Неверно. Это Вы просто нарисовали буковки

Будем считать, что я не понял чего именно Вам надо. Это случается.

[ewert]

terminator-II в сообщении #233066 писал(а):

Коллеги, не тратьте время на увещевания этого малого. Его единственная задача пошуметь, а так он абсолютно невежественен и необучаем. Посмотрите остальные его посты.

"-- Ипполит, не дурачься!
-- Ну почему же, пусть подурачится - у него это так славно получается!"

[AGu]

st256 в сообщении #233052 писал(а):

Любые, значит и бесконечные тоже. Смысл в чем, есть пространство $L_2$, в котором квадрат нормы вектора ограничен. Следовательно, произвольная комбинация базисных векторов уже не обязательно попадает в $L_2$. Например, бесконечная сумма базисных векторов типа

$e^{jx}+$e^{j2x}+$e^{j3x}+$e^{j4x}+...$

уже в $L_2$ не попадает, так как имеет бесконечную энергию.

Стало быть, речь идет о суммируемости рядов. И, вроде бы, хочется выяснить, как называются «пространства Гильберта» (которые, конечно же, таковыми уже не будут), в которых любой ряд, составленный из элементов какого-либо «базиса», умноженных на произвольные числа, оказывается суммируемым (по норме, например). Тогда ответ -- никак они не называются. Таких нормированных пространств не бывает. Если что-то такое и бывает, то это уже будут не нормированные пространства, и суммирование рядов в них будет пониматься в каком-то экстравагантном смысле. Самый простой пример такого странного бесконечномерного пространства -- топологическое векторное пространство всех числовых последовательностей с топологией поточечной сходимости.

[мат-ламер]

ewert в сообщении #233064 писал(а):

st256 в сообщении #233040 писал(а):

Как известно, в пространстве Гильберта любой вектор возможно разложить в линейную комбинацию векторов, образующих базис.

Во-первых, это неправда -- не в любом гильбертовом пространстве, а только в сепарабельном.

ewert. А что, это действительно так? (Прошу не пинать ногами, как предыдущего оратора).