Есть ли строгость в математике?

[hexamino]

ewert в сообщении #232818 писал(а):

hexamino в сообщении #232815 писал(а):

Вот эти нижние индексы тоже выглядят сомнительными. Что это за операция? Например, если $p = 3$, а $n = 5$, то чему равно $p_n$?

Эта "операция" называется биекцией. А $p$ там, разумеется, никаким $3$ не равно, оно вообще ничему не равно, т.к. нету там никакого $p$, постановка вопроса бессмысленна.

Если Вы взялись что-то доказывать, то я предлагаю Вам и объяснить все используемые обозначения.
Объясните, что такое биекция, и откуда она взялась в этом доказательстве.

[ewert]

hexamino в сообщении #232819 писал(а):

Если Вы взялись что-то доказывать, то я предлагаю Вам и объяснить все используемые обозначения.

Боже упаси. Я не сороканожка и даже не сороканог, и Вам такой участи тоже не желаю.

[AGu]

Профессор Снэйп в сообщении #232817 писал(а):

Ну... Я напишу в ответ на Ваш вопрос некоторое количество букаф, а Вы дадите на неё тот же ответ, что и выше. Так будет продолжаться до бесконечности

Во-во. Поэтому, собсно, в своем первом отклике я и предложил сразу рассмотреть случай экстремально короткого доказательства. Там вообще нет слов, только само доказательство, причем в достаточно точном соответствии с метаопределением понятия доказательства (как конечной последовательности формул, каждая из которых либо является аксиомой, либо выводится из предыдущих по одному из правил вывода).

[hexamino]

Профессор Снэйп в сообщении #232817 писал(а):

hexamino в сообщении #232813 писал(а):

Вообще, объясните, почему это не случайная последовательность слов, а действительно доказательство.

Ну... Я напишу в ответ на Ваш вопрос некоторое количество букаф, а Вы дадите на неё тот же ответ, что и выше. Так будет продолжаться до бесконечности

Если напишите убедительно, то не напишу. У Вас же есть какие-то критерии, что является доказательством, а что - нет.

Профессор Снэйп в сообщении #232817 писал(а):

То, что число $n!$ определено для любого $n$, доказывается индукцией по $n$.

Продемонстрируйте. И объясните, что такое $n!$.

Профессор Снэйп в сообщении #232817 писал(а):

Наличие у числа $n!+1$ простых делителей следует из того, что любой делитель натурального числа, отличный от него самого, строго меньше этого числа, и того, что множество натуральных чисел с естественным порядком вполне упорядочено.

Без множеств и вполне упорядоченности в таком простом доказательстве никак нельзя? Я ведь попрошу предъявить соответствующие определения и аксиомы.
Вообще я заметил такую манеру у математиков: объяснять простые понятия с помощью сложных, а те - с помощью еще более сложных, и так далее, пока собеседник не перестанет понимать, о чем идет речь.

-- Вт авг 04, 2009 13:55:06 --

AGu в сообщении #232824 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #232817 писал(а):

Ну... Я напишу в ответ на Ваш вопрос некоторое количество букаф, а Вы дадите на неё тот же ответ, что и выше. Так будет продолжаться до бесконечности

Во-во.

Понимать это как согласие с тем, что математика строится на порочном круге?

AGu в сообщении #232824 писал(а):

Поэтому, собсно, в своем первом отклике я и предложил сразу рассмотреть случай экстремально короткого доказательства. Там вообще нет слов, только само доказательство, причем в достаточно точном соответствии с метаопределением понятия доказательства (как конечной последовательности формул, каждая из которых либо является аксиомой, либо выводится из предыдущих по одному из правил вывода).

Что значит "последовательность", "конечная", "формула", "каждая из которых"?
Приведите используемые аксиомы и правила вывода.

[AGu]

hexamino в сообщении #232827 писал(а):

AGu в сообщении #232824 писал(а):

Поэтому, собсно, в своем первом отклике я и предложил сразу рассмотреть случай экстремально короткого доказательства. Там вообще нет слов, только само доказательство, причем в достаточно точном соответствии с метаопределением понятия доказательства (как конечной последовательности формул, каждая из которых либо является аксиомой, либо выводится из предыдущих по одному из правил вывода).

Что значит "последовательность", "конечная", "формула", "каждая из которых"?

См. мой первый отклик. Там я сказал, что «неустранимые недостатки» уходят корнями в метатеорию/метамодель. Первая же порция Ваших вопросов нырнула в метатеорию, а там уже другой уровень строгости, интуитивный. Так что если Вы имели в виду такие недостатки, то для математиков они новостью не являются.

[ewert]

hexamino в сообщении #232827 писал(а):

Без множеств и вполне упорядоченности в таком простом доказательстве никак нельзя? Я ведь попрошу предъявить соответствующие определения и аксиомы.
Вообще я заметил такую манеру у математиков: объяснять простые понятия с помощью сложных, а те - с помощью еще более сложных, и так далее, пока собеседник не перестанет понимать, о чем идет речь.

Это потому, что Вы желаете и рыбку съесть и одновременно. Сперва Вы возмущаетесь якобы нестрогой (но интуитивно очевидной) терминологией, когда же Вам показывают, как можно придать этому (при желании) формально точный смысл -- кривите губы: "Нет, вы мне объясните так, чтобы это было неформально, однако же формально, но как-нить не настолько формально!".

[hexamino]

AGu в сообщении #232832 писал(а):

Там я сказал, что «неустранимые недостатки» уходят корнями в метатеорию/метамодель. Первая же порция Ваших вопросов нырнула в метатеорию, а там уже другой уровень срогости, интуитивный. Так что если Вы имели в виду такие недостатки, то для математиков они новостью не являются.

То есть добавив к чему-то приставку мета-, мы позволяем себе быть нестрогими, принимать что-то без доказательств, на веру?
А какой смысл в строгости, если она все равно базируется на чем-то нестрогом? Нам ведь нужна метатеория, чтобы сформулировать теорию, и проводить в ней доказательства.

[Профессор Снэйп]

hexamino в сообщении #232827 писал(а):

Понимать это как согласие с тем, что математика строится на порочном круге?

Понимать это следует так, что дурак может задать столько вопросов, что умный не в жисть на них не ответит. Порочный круг следует искать не в математике, а в головах у её "критиков".

Честно говоря, я поначалу думал, что автор темы хочет нас чем-то удивить. Но пока что ничего оригинального в его высказываниях я не обнаружил.

[AGu]

hexamino в сообщении #232836 писал(а):

AGu в сообщении #232832 писал(а):

Там я сказал, что «неустранимые недостатки» уходят корнями в метатеорию/метамодель. Первая же порция Ваших вопросов нырнула в метатеорию, а там уже другой уровень срогости, интуитивный. Так что если Вы имели в виду такие недостатки, то для математиков они новостью не являются.

То есть добавив к чему-то приставку мета-, мы позволяем себе быть нестрогими, принимать что-то без доказательств, на веру?

Да.

hexamino в сообщении #232836 писал(а):

А какой смысл в строгости, если она все равно базируется на чем-то нестрогом? Нам ведь нужна метатеория, чтобы сформулировать теорию, и проводить в ней доказательства.

Да, базируется на чем-то нестрогом. Если Вам показалось, что математики утверждают, будто у них абсолютно все строго, то либо Вы их неправильно поняли, либо это были не очень математики.

[hexamino]

ewert в сообщении #232834 писал(а):

hexamino в сообщении #232827 писал(а):

Без множеств и вполне упорядоченности в таком простом доказательстве никак нельзя? Я ведь попрошу предъявить соответствующие определения и аксиомы.
Вообще я заметил такую манеру у математиков: объяснять простые понятия с помощью сложных, а те - с помощью еще более сложных, и так далее, пока собеседник не перестанет понимать, о чем идет речь.

Это потому, что Вы желаете и рыбку съесть и одновременно. Сперва Вы возмущаетесь якобы нестрогой (но интуитивно очевидной) терминологией, когда же Вам показывают, как можно придать этому (при желании) формально точный смысл -- кривите губы: "Нет, вы мне объясните так, чтобы это было неформально, однако же формально, но как-нить не настолько формально!".

Я не возмущался, я попросил дать определения неясным терминам. Мне вообще все равно, формальное доказательство или нет, надо только чтобы оно было убедительным, и я мог проверить в нем каждый шаг. Если для такого простого вопроса надо развивать теорию множеств - я не возражаю. Только я думал, что можно проще.

-- Вт авг 04, 2009 14:19:56 --

AGu в сообщении #232841 писал(а):

Да, базируется на чем-то нестрогом. Если Вам показалось, что математики утверждают, будто у них абсолютно все строго, то либо Вы их неправильно поняли, либо это были не очень математики.

Хорошо, тогда хотя бы можно раз и навсегда очертить минимальный круг простейших понятий, которые мы вынуждены принять без строгих определений, а за его пределами сохранять строгость?

[AGu]

hexamino в сообщении #232842 писал(а):

Хорошо, тогда хотя бы можно раз и навсегда очертить минимальный круг простейших понятий, которые мы вынуждены принять без строгих определений, а за его пределами сохранять строгость?

Можно. И это неоднократно сделано. Достаточно полистать книги по основаниям математики. (Воспризводить самому эти понятия и соглашения мне лично лень. )

[ewert]

hexamino в сообщении #232842 писал(а):

Если для такого простого вопроса надо развивать теорию множеств - я не возражаю. Только я думал, что можно проще.

Нельзя. Можно другое: сперва выучить хоть какие-то основы теории множеств и пр., а потом забыть их за ненадобностью. Тогда всё действительно станет проще, но -- только тогда.

[AD]

hexamino в сообщении #232827 писал(а):

Если напишите убедительно, то не напишу. У Вас же есть какие-то критерии, что является доказательством, а что - нет.

А у Ваааас?

[hexamino]

AD в сообщении #232893 писал(а):

hexamino в сообщении #232827 писал(а):

Если напишите убедительно, то не напишу. У Вас же есть какие-то критерии, что является доказательством, а что - нет.

А у Ваааас?

И у меня есть. И эти критерии подсказывают мне, что правильность каких-то элементарных шагов в доказательстве придется принять на веру.

[AD]

Ну хорошо, ну может тогда рассекретим эти критерии?

Вот у меня есть известно какая теория на известно каком языке предикатов, и выводом в этой теории называется известно что: последовательность формул, каждая из которых есть либо аксиома исчисления предикатов, либо аксиома теории, либо получается из предыдущих по известным правилам вывода.

В этом смысле проверка правильности вывода становится совершенно формальной - даже доступной компьютеру (правда, все равно всем лень будет проверять, ну и что).

А у Вас какие критерии? Они сильнее этих или слабее?