Абстрактные линейные топологические пространства.

[sasha-parazit]

В учебнике Колмогорова А.Н., Фомина С.В. "Элементы теории функций и функционального анализа" глава III параграф 5 подраздел 1 имеется следующее упражнение:

1.Пусть $E$--- топологическое линейное пространство; докажите справедливость следующих утверждений:
****
1(б) если $\{x_n\}_{n=1}^\infty \subset E$\ и $x_n \rightarrow x$, то $\{x_n\}$ -- ограниченное множество.

Замечание. В учебнике дано определение ограниченного множества в линейном топологическом пространстве:
Множество $M$, лежащее в топологическом линейном пространстве $E$, назовем ограниченным, если для каждой окрестности $U$
нуля существует такое $n>0$, что $\lambda U \supset M$ при всех $\left|\lambda\right|>n $.

Даже при $x=0$ доказать утверждение 1(б) у меня не получается.
Проблема в том, что не предполагается локальная выпуклость $E$.
Помогите построить контрпример (или доказать 1(б)).

[id]

sasha-parazit
А зачем выпуклость?
Есть же базис окрестностей нуля из радиальных ( т.е. поглощающих каждое конечное множество ) окрестностей, причем в любом ТЛП.

[ewert]

sasha-parazit в сообщении #232822 писал(а):

Проблема в том, что не предполагается локальная выпуклость

А зачем выпуклость? Ведь топология должна быть согласована с линейной структурой; в частности, для любых двух окрестностей нуля $U$ и $V$ найдётся $\varepsilon>0$ такое, что $\varepsilon V\subset U$. Вроде бы этого и достаточно.

[Lyoha]

ewert в сообщении #232831 писал(а):

Ведь топология должна быть согласована с линейной структурой; в частности, для любых двух окрестностей нуля $U$ и $V$ найдётся $\varepsilon>0$ такое, что $\varepsilon V\subset U$.

Есть мнение, что это неверно: достаточно рассмотреть слабую топологию, например, в обычном гильбертовом пространстве.

-- Вт авг 04, 2009 22:25:43 --

А существенным, действительно, является тот факт, что в ЛТП окрестность является поглощающим множеством.

[ewert]

Lyoha в сообщении #232957 писал(а):

Есть мнение, что это неверно

Да, я чего-то погорячился. Но вот что всё-таки верно: для любой окрестности $U$ нуля найдётся такая окрестность $V$ точки $x$, что $\varepsilon V\subset U$ при всех достаточно малых $\varepsilon>0$. Это означает ограниченность множества всех элементов последовательности, за исключением (возможно) нескольких первых -- а значит, и всей последовательности.

[sasha-parazit]

ewert в сообщении #233000 писал(а):

Но вот что всё-таки верно: для любой окрестности $U$ нуля найдётся такая окрестность $V$ точки $x$, что $\varepsilon V\subset U$ при всех достаточно малых $\varepsilon>0$.

Это означает, что у точки $x$ есть ограниченная окрестность.
Почему это так?


Приведу пример проблемного доказательства:
Пусть $O_o$ - некоторая окрестность нуля.
Найдется число $a$, такое что $x \in \lambda O_o$ при любом $|\lambda|>a$(Потому что, одноточечное множество всегда ограничено в ЛТП.).
Множество $(a+1)O_o$ -- открыто, следовательно является окрестностью точки $x$.
Так как $x_n \to x$, то только конечное число из точек $x_n$ не принадлежат $(a+1)O_o$.
Вопрос: Как показать, что найдется $b$, такое что точки $x_n$ попавшие в $(a+1)O_o$ принадлежат $ \lambda O_o$ при любом $|\lambda|>b$?
Если, на этот вопрос удастся ответить, то задача решена.

-- Ср авг 05, 2009 11:13:11 --

Хочу задать еще один вопрос на эту тему:
Пусть $M$ - ограниченное множество, $y$ - некоторый вектор.
Является ли $M+y$ ограниченным множеством?
В локально выпуклом ЛТП это так, вопрос для произвольного ЛТП.

[id]

А тут нужно воспользоваться тем, что окрестности базиса - еще и закруглены, т.е. $\lambda V \subset V$ при $|\lambda| < 1$

-- Ср авг 05, 2009 15:30:55 --

По поводу ограниченность сдвига. Думаю, тут нужно то, что для всякой $V$ из базиса окрестностей существует $U$ оттуда же, что $U+U \subset V$.

[AGu]

id в сообщении #233068 писал(а):

А тут нужно воспользоваться тем, что окрестности базиса - еще и закруглены, т.е. $\lambda V \subset V$ при $|\lambda| < 1$

Вах, id вырвал эти слова из моих уст. Только что хотел намекнуть про такие окрестности. (Их, кстати, еще называют уравновешенными, звездными и -- изредка -- симметричными.)

[sasha-parazit]

id в сообщении #233068 писал(а):

А тут нужно воспользоваться тем, что окрестности базиса - еще и закруглены, т.е. $\lambda V \subset V$ при $|\lambda| < 1$

Почему? Как доказать, что такая база топологии существует? У меня не получается это утверждение доказать. Ведь определение ЛТП следующее.
Определение. Множество $E$ называется топологическим линейным пространством, если
I. $E$ представляет собой линейное пространство (с умножением на действительные или комплексные числа)
II. $E$ является топологическим пространством
III. Операции сложения и умножения на числа непрерывны в заданной на $E$ топологии.
(Колмогорова А.Н., Фомина С.В. "Элементы теории функций и функционального анализа" глава III параграф 5 подраздел 1)
И никаких больше дополнительных свойств не предполагается.

[id]

Для любой окрестности нуля $W$ существует такая окрестность нуля $V$ и такое $\varepsilon > 0$, что $\forall \lambda: \ |\lambda| < \varepsilon \ \lambda V \subset W$.
Тогда
$U = \bigcup\limits_{|\lambda|<\varepsilon} \lambda V \subset W$ - окрестность нуля, закругленная.

[sasha-parazit]

id в сообщении #233245 писал(а):

Для любой окрестности нуля $W$ существует такая окрестность нуля $V$ и такое $\varepsilon > 0$, что $\forall \lambda: \ |\lambda| < \varepsilon \ \lambda V \subset W$.
Тогда
$U = \bigcup\limits_{|\lambda|<\varepsilon} \lambda V \subset W$ - окрестность нуля, закругленная.

Спасибо, id. Это, то что надо.