Внутренняя и внешняя меры

[Cat]

Пусть множество A измеримо по Лебегу, как можно показать что его внешняя мера равна внутренней?
А измеримо, если \forall \varepsilon >0 \exists B \in R(S):\mu^{*}(A \triangle B)< \varepsilon. R(S)- кольцо. Внутренняя мера A определяется как \mu_{*}=\mu(E)-\mu^{*}(E-A). То что, \mu^{*}\geq \mu_{*} я доказала а как доказать обратное неравенство, то есть что \forall \varepsilon >0 \mu_{*} \geq \mu^{*}-\varepsilon

[PAV]

Идея заключается в следующем. Возьмите покрытие множества $A\triangle B$, имеющее меру не больше $\varepsilon$. Далее нужно воспользоваться тем, что если вычесть из $B$ это покрытие, то получим множество, лежащее внутри $A$. А если добавить к $B$ это покрытие, то такое множество будет содержать в себе $A$. Так и получим близкие внутренюю и внешнюю меры $A$.

Вообще же в случае возникновения сложностей с этой темой настоятельно рекомендую читать учебник Колмогорова и Фомина "Элементы функционального анализа", там эти вопросы разобраны очень подробно и четко.

[Cat]

Спасибо за идею, в Колмогорове да, хорошо написано, но там постановка этой задачи как раз была.

[Cat]

То есть получим:
$ \mu^{*}(A)\geq \mu^{*}(B-S)
\mu^{*}(A)\leq \mu^{*}(B\cup S) $, где S - покрытие
А как теперь можно к внутренней мере перейти?

[PAV]

Внутренняя мера определяется через внешнюю меру дополнения к множеству. Для этого необходимо такое множество из кольца, которое полностью лежит внутри $A$. Тогда его дополнение является покрытием $E\backslash A$. В Вашем случае таким множеством является $B-S$.

[Cat]

То есть \mu_{*}(A) \leq \mu_{*}(B-S) и
\mu_{*}(A) \geq \mu_{*}(B\cup S)?
Правильно я понимаю?

[PAV]

Нет, не так. Неравенства оба обратные, и кроме того нам ведь нужно, чтобы внутренняя мера была сравнена с внешней.

Нужно так. Поскольку $B\cup S$ покрывает $A$, то из определения внешней меры следует $\mu^*(A)\le \mu(B\cup S)$ (в правой части берется просто мера, так как множество из кольца).

С другой стороны, $B-S$ лежит внутри $A$, откуда следует, что $E-(B-S)$ покрывает $E-A$, откуда $\mu^*(E-A)\le\mu(E-(B-S))$, откуда (см. определение внутренней меры)

$\mu_*(A)\ge\mu(E)-\mu((E-(B-S))=\mu(B-S)$

Таким образом, учитывая что $\mu_*(A)\le\mu^*(A)$, мы зажали обе величины между двумя, отличающимися не более чем на $\mu(S)\le\varepsilon$.

[Cat]

Спасибо, теперь все понятно стало.