Геометрический смысл бинома Ньютона.

[sherzod_]

Доброго времени.
В чем заключается геометрический смысл бинома Ньютона?

[ewert]

В общем-то ни в чём. А при желании можно сказать, что $n$-мерный кубик со стороной $(a+b)$ распадается на кубик со стороной $a$, ещё кубик со стороной $b$ и ещё много-много разных параллелепипедиков. Но зачем это может понадобиться -- не знаю.

[sherzod_]

мне кажется что они(параллелепипеды) не совсем разные. а потом это ведь для случая кубов. а меня интересует смысл вообще не именно для кубов.

[ewert]

Смысла вообще не существует вообще.

[sherzod_]

то есть бином Ньютона сугубо алгебраическо-символьный объект?

[ewert]

Да. А вот интерпретироваться (слово "смысл" в этом контексте означает именно "интерпретация") может уже по-разному. С некоторой натяжкой -- и геометрически.

[sherzod_]

простите меня если я скажу какую-нибудь глупость, я не математик.

но у меня возникли к отрицанию вопросы:

разве в биноме ньютона применяются операции не определенные в n-мерном евклидовом пространстве?
или элементы множества на котором определена формула (например можно взять действительные числа) не являются элементами того же пространства чтобы утверждать что бином Ньютона ничего осмысленного не характеризует там?

[ewert]

sherzod_ в сообщении #232856 писал(а):

или элементы множества на котором определена формула (например можно взять действительные числа) не являются элементами того же пространства

Не являются. Формула "определена" только на числовом множестве -- каком угодно, но обязательно содержащим в себе натуральные числа. На элементах евклидова пространства она не определена ещё и просто потому, что в этом пространстве нет понятия умножения элементов.

[Профессор Снэйп]

Формула бинома Ньютона вообще справедлива для любого коммутативного кольца...

-- Вт авг 04, 2009 18:10:20 --

Кстати, кто-то мне говорил, что формула

$$ (x+y)^n = \sum_{i=0}^n C_n^i x^i y^{n-i} $$

для натуральных $n$ --- это не бином Ньютона. А бином Ньютона --- это ряд для $(x+y)^n$ для произвольных $n$, не обязательно целых и положительных.

[STilda]

Мысли вслух (для натуральных степеней):
1. Степени всех слагаемых и результата одинаковые, что говорит об одинаковой размерности величин. Тоесть площадь раскладывается на сумму площадей, объем - на сумму объемов, длинна - на сумму длин... Довольно геометрично(физично).
2. Коэффициент $C_n^i$ показывает количество одинаковых фигур.
3. Все фигуры имеют линейные измерения равные только $x$ и $y$.
4. Так же заметим что их два $x$ и $y$. В этом тоже какой-то смысл наверное.

[мат-ламер]

Для натуральных $n$ коэффициенты бинома Ньютона умел вычислять ещё Паскаль через свой треугольник (а вот и связь с геометрией). А Ньютон смог вычислить коэффициенты свего бинома для ненатуральных $n$ через ряд Тейлора от степенной функции.