Поризм Понселе (странное явление, прошу помощь клуба).

[Сергей Маркелов]

Тем кто забыл, что такое поризм Понселе:



Summary этой заметки: если в поризме Понселе поменять местами R и d, ломаная всё равно замкнётся -- иногда за то же, иногда за вдвое большее, иногда за вдвое меньшее число шагов.


Начнём с примера. Возьмём две окружности радиусов R=8 и r=3, расстояние между центрами которых равно d=4. Эти две окружности удовлетворяют теореме Понселе для n=3, т.е. существуют треугольники, вписанные во внешнюю окружность и описанные около внутренней. В качестве вершины треугольника можно взять любую точку внешней окружности.




Поменяем теперь R и d местами, т.е. построим отдельный чертёж с окружностями радиусов 4 и 3, расстояние между центрами которых равно 8. Оказывается, новые окружности удовлетворяют поризму Понселе для n=6! Шестиугольник получается самопересекающийся, но всё равно -- для любой точки окружности радиуса 4 цепочка касательных замкнётся за 6 шагов.




При чётном n замена R и d также возможна. Новая цепочка замыкается иногда за n загов, иногда за n/2 шагов.

У меня есть доказательства, что R можно менять на d при n=3,4,5,6,7,8 (с полной классификацией -- в каких случаях в новой картинке число шагов в ломаной будет вдвое больше, в каких вдвое меньше, в каких то же). Предполагаю, что R можно менять на d при любом n. Доказательством не располагаю.

Если у кого-то есть идеи, напишите, пожалуйста, мне было бы интересно обсудить.

Картинки при других n можно посмотреть тут: http://community.livejournal.com/ru_math/721777.html

Спасибо!
С уважением,
Сергей Маркелов

[nn910]

Сергей Маркелов в сообщении #232677 писал(а):

Начнём с примера. Возьмём две окружности радиусов R=8 и r=3, расстояние между центрами которых равно d=4. Эти две окружности удовлетворяют теореме Понселе для n=3, т.е. существуют треугольники, вписанные во внешнюю окружность и описанные около внутренней. В качестве вершины треугольника можно взять любую точку внешней окружности.

$d^2=R(R-2r)$для любого треугольника,что эквивалентно теореме Понселе.
>Пусть формула, проведем из любой точки две хорды-касательные. Малая окружность касается 2х сторон треугольника и имеет нужный радиус, значит она- вписанная.
<Пусть теорема Понселе ,тогда треугольник можно взять равнобедренным, и для него легко считается. Только напомните :( кто автор формулы и кто раньше - Понселе или онПочему интересует-кто.Потому что забыл :( и на http://community.livejournal.com/ru_math/721777.html тоже не знают. Упоминают общий для n>=3 критерий Кэли. Но формулу для радиусов вп. и оп. окружностей и расстояния между их центрами последний раз я видел как задачу для школьников(и там ,понятно,если написать фамилию-никто не будет решать а все полезут в сеть)А фамилия очень известная-может,Эйлер,может,Бернулли. Помогите пожалста в борьбе со склерозом! А задачу решим, Содди-4 не проще была.topic22769.html
Например не вижу зачем участники дискуссии http://community.livejournal.com/ru_math/721777.html зацикливаются на вопросе,за 6 шагов замкнется построение касательных или за 12.Если (при начальных точках из нульмерного множества на окружности) за 6,а в ост.случаях за 12, пишем- всегда за 12.

[Yu_K]

В ЖИВОЙ ГЕОМЕТРИИ все красиво получается - точки можно двигать и рисунок сам перестраивается.