Последовательность an, такая что ряд an*sin(n) сход. абсолют

[Java]

Всем привет! Нужно придумать такую последовательность для которой ряд $\sum a_n sin(n)$ сходится обсалютно. Но есть условие, что бы последовательность не была бесконечно малой (вот редиски) А то я сразу предумала:)))

Вот такую чтуку над придумать, мне кажется надо чтобы там хотябы одна из точек 0 или 1 была предельной. Или я ошибаюсь?

[Руст]

sin(n) можно представить в виде $\sin n =\sin(\pi n \frac{1}{\pi})$. Пусть
$\frac{1}{\pi }=\frac{P_k}{Q_k}+\frac{\eta }{Q_kQ_{k+1}},|\eta |<1.$
Тогда взяв $a_n=0,n\not =Q_k, a_n=\sqrt n ,n=Q_k$ получим, что $a_n$ неограничено, в то же время ряд $\sum a_n\sin n $ абсолютно сходится. Последнее проверяется тем, что последовательность $Q_k$ стремится к бесконечности не медленнее чем числа Фибоначчи (т.е. не медленнее экспоненциальной) для любого иррационального числа.

[Java]

Цитата:

sin(n) можно представить в виде $\sin n =\sin(\pi n \frac{1}{\pi})$. Пусть
$\frac{1}{\pi }=\frac{P_k}{Q_k}+\frac{\eta }{Q_kQ_{k+1}},|\eta |<1.$

А зачем такое представление? не включаюсь в ход ваших мыслей..

[Brukvalub]

Дело в том, что из неалгебраичности числа пи вытекает, что для бесконечной подпоследовательности натуральных номеров число sin(n) расположено к нулю ближе, чем,скажем, единица, деленая на достаточно высокую степень числа n, и тогда можно построить последовательность, которая для таких номеров возрастает, а для всех остальных равна 0- это и есть пример нужной Вам последовательности. Вся штука в том и состоит, каков объем доступных Вам сведений о скорости приближения трансцендентных чисел рациональными?

[Dan_Te]

Brukvalub писал(а):

и тогда можно построить последовательность, которая для таких номеров возрастает

А зачем ей возрастать-то? Пусть последовательность при этих n будет единицей, а при всех остальных n будет нулем. Тогда нам нужно приближение синуса $|sin(n)|<\frac 1 {(n^2)}$

[Brukvalub]

Dan_Te писал(а):

Brukvalub писал(а):

и тогда можно построить последовательность, которая для таких номеров возрастает

А зачем ей возрастать-то? Пусть последовательность при этих n будет единицей, а при всех остальных n будет нулем. Тогда нам нужно приближение синуса $|sin(n)|<\frac 1 {(n^2)}$

Согласен, я просто продумывал идею решения, предложенную Рустом, и невнимательно прочел постановку исходной задачи.
Тогдв все намного проще: Используйте иррациональность числа пи и стандартную технику ящиков Дирихле - вы получите, что найдутся две последовательности натуральных чисел n и к, такие, что для их членов с одинаковыми номерами, числа ($\pi $к ) и n мало отличаются друг от друга, можно потребовать, чтобы для l-той такой пары модуль разности ($\pi $к) и n был меньше, чем $\frac 1 {(l^2)}$. А дальше Вам останется на нужных местах поставить 1, а на остальных - 0.

[Руст]

Dan_Te писал(а):

Brukvalub писал(а):

и тогда можно построить последовательность, которая для таких номеров возрастает

А зачем ей возрастать-то? Пусть последовательность при этих n будет единицей, а при всех остальных n будет нулем. Тогда нам нужно приближение синуса $|sin(n)|<\frac 1 {(n^2)}$

Может быть вообще не существует ни одного n>1 удовлетворяющего условию
$|sin(n)|<\frac{1}{n^2}$.
Во всяком случае если бы pi было алгебраическим числом из теоремы Рота следовала бы что чисел вида $|sin(n)|<\frac{1}{n^{1+\epsilon }}$ конечное число. На самом деле это верно для иррациональностей кроме меры 0, т.е. скорее всего и для pi.
Я предлагал брать всюду нули кроме значений наилучших приближений $n=Q_k,a_n=\sqrt n , \ else \ 0.$. При этом $a_n|sin(n)|<\frac{\pi }{\sqrt n}<c_0c^k,c<1.$

[Java]

Цитата:

Согласен, я просто продумывал идею решения, предложенную Рустом, и невнимательно прочел постановку исходной задачи.
Тогдв все намного проще: Используйте иррациональность числа пи и стандартную технику ящиков Дирихле - вы получите, что найдутся две последовательности натуральных чисел n и к, такие, что для их членов с одинаковыми номерами, числа ($\pi $к ) и n мало отличаются друг от друга, можно потребовать, чтобы для l-той такой пары модуль разности ($\pi $к) и n был меньше, чем $\frac 1 {(l^2)}$. А дальше Вам останется на нужных местах поставить 1, а на остальных - 0.

А можно поподробней? Что мы делаем и зачем? Вот мне тут дали подсказку. Что нужно доказать, что хотябы одна из точек О или 1 будет предельной точкой последоватеьности {\pi n - [ \pi n]}

[Brukvalub]

Вопрос, который я хотел задать, стал понятен.