Размерность пространства функций

[lofar]

Пусть $K$ --- поле и $I$ --- бесконечное множество. Совокупность функций $K^I=\{f\colon I\to K\}$ является векторным пространством над $K$ (относительно покомпонентного сложения и умножения на скаляры из $K$). Какова размерность $K^I$ над $K$?

[er]

$2^I$

для $|I|=\aleph_0$ это несложно показать, для несчетныых $I$ посложнее, но тоже можно.

[Leox]

Векторное пространство $K^I$ порождается индикаторными функциями $\delta_x$, $\delta_x(y)=1$ если $y=x$и $\delta_x(y)=0$ если $y \neq x$ поэтому размерность$K^I$ равна мощности множества $I.$

[er]

Leox писал(а):

Векторное пространство $K^I$ порождается индикаторными функциями $\delta_x$, $\delta_x(y)=1$ если $y=x$и $\delta_x(y)=0$ если $y \neq x$ поэтому размерность$K^I$ равна мощности множества $I.$

это не верно, очевидно, в бесконечномерном случае.

тождественная единица не выражается через функции вида $\delta_x$.

[er]

мой ответ для маленьких полей, типа вещественных чисел.

Тут подумал, если $|K|>2^{|I|}$, то непонятно, какая размерность.

[Руст]

er писал(а):

мой ответ для маленьких полей, типа вещественных чисел.

Тут подумал, если $|K|>2^{|I|}$, то непонятно, какая размерность.

Ваш ответ верен всегда, когда |I| бесконечное. Ответ вашего оппонента верна всегда для конечной мощности |I|.

[Leox]

Цитата:

это не верно, очевидно, в бесконечномерном случае.

тождественная единица не выражается через функции вида $\delta_x$.

Я имел ввиду именно конечномерный случай.

[lofar]

Пусть $V$ --- векторное пространство над полем $K$ с базисом $B\subset V$. Тогда

$$ |V|=\left\{ \begin{array}{ll} |K|^{|B|}&\mbox{\em если } B\mbox{ \em конечен}\\ |K|\cdot|B|&\mbox{\em если } B\mbox{ \em бесконечен} \end{array} \right. $$

В частности, если $B$ --- базис $K^I$ над $K$, то (базис $B$ бесконечен, так как $I$ бесконечно)$ |K|^{|I|}=|K|\cdot|B|$.

[er]

Рассматриваем случай бесконечного $I$.

Еще одна оценка, $|B|\ge |K|$. Для доказательства достаточно рассмотреть случай, когда $I=\mathbb{N}$ и $K$ бесконечно. Для $k\in K$ положим $f_k:\mathbb{N}\to K: n\mapsto k^n$. Семейство $\{f_k:k\in K\setminus \{0\}\}$ линейно независимо, так что $|B|\ge |K|$.

Используя оценку lofarа и эту, получаем окончательный ответ: $|K|^{|I|}$.

PS. Ответ $2^{|I|}$ неверен, если $2^{|I|}<|K|$.

[lofar]

Большинству дюдей (даже специалистам), на первый взгляд, кажется, что размерность $K^I$ должна зависить лишь от $|I|$. Тем не менее, как и установил er, эта размерность зависит также от $|K|$.

[er]

Еще подобная задача. Пусть $V$ векторное пространство над полем $K$ с базисом $B$. Сколько нужно гиперплоскостей, чтобы ими покрыть $V$?