Уравнение Пуассона. Переход из 3d в 2d. Возможно ли? Как?

[NMagic]

Есть трехмерное уравнение Пуассона в декартовой системе координат
$\frac{\partial^2\Psi(x,y,z)}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\Psi(x,y,z)}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2\Psi(x,y,z)}{\partial z^2}= \sigma(x,y) \delta(z)$.

($\delta(z)$ - естественно дельта-функция Дирака).

Очень надо перейти к уравнению такого вида
$\frac{\partial^2\Psi(x,y,z)}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\Psi(x,y,z)}{\partial y^2}= f(x,y)$.
Как это сделать?

Немного поясню о чем речь. Нужно искать гравитационный потенциал, создаваемый тонким диском в плоскости самого диска. Задача по сути двумерная, но решение корректно при решении 3d пуассона. А решать 3d слишком затратно

То ли интегрировать надо как-то, то ли сверку делать. В общем помогите!

[jetyb]

В случае подобной плоской задачи можно сразу переходить к двумерному уравнению Пуассона.
Поясню на пальцах:
Возьмем две точки, находящиеся на малом расстоянии и по разные стороны от плоскости. Рассмотрим поведение поля $\vec{a}=-grad\varphi$ в этих точках. Понятно что проекции векторов в этих точках на ось $z$ будут смотреть в разные стороны. Само поле - достаточно хорошая функция, поэтому в плоскоcти $a_z=-\frac{\partial\varphi}{\partial z}=0$.
А вообще, такие задачи решаются с помощью функции Грина уравнения Д`Аламбера.

[Gafield]

А в чем проблема то? Решение выписывается явно в виде ньютоновского потенциала. Присутствие дельта-функции означает интегрирование $\sigma$ по плоскости и все.

[NMagic]

Трудность в том, что мне не нужно решение. Мне надо привести уравнение к нужному виду

[Gafield]

Непонятно. Может, так: $\frac{\partial^2\Psi(x,y,0)}{\partial x^2} + \frac{\partial^2\Psi(x,y,0)}{\partial y^2}= f(x,y)$?

[Утундрий]

Диск конечен или это вся плоскость?

[NMagic]

Конечно конечен

[Утундрий]

Используйте $x^k$-аналитические функции.