очевидность понятия "равно".

[AGu]

conviso в сообщении #230713 писал(а):

Цитата:

AGu в сообщении #230616 писал(а):
А попробуйте-ка тогда опровергнуть следующий тезис: «все объекты на самом деле воображаемые, и в реальном мире тоже нет объектов».

Почему-то я думаю, что этот тезис неопровержим и недоказуем (по крайней мере в теории с разумной аксиоматикой). Так что предпочту не тратить время.

Но я знаю одно: Есть масса объектов, в реальности которых я почему-то уверен (хотя я могу и ошибаться). Но двойка к ним явно не относится (а вот объект "пара стульев", которые находятся неподалёку от меня, - относится).

Уважаемый conviso, далеко не все высказывания, фигурирующие в приведенной Вами «цитате», принадлежат мне. Авторством на большую их часть обладает epros. Убедительно прошу Вас: перед участием в дискуссии, пожалуйста, научитесь правильно оформлять цитаты!

-- 2009.07.23 20:03 --

epros в сообщении #230669 писал(а):

Мы сейчас с Вами говорим о разных расширениях синтаксиса. Вы - только об узком классе возможных расширений (очевидно, в смысле упоминавшейся Вами ранее "определимости в языке теории").

Вы угадали.

epros писал(а):

Я же говорю о расширении синтаксиса в общем смысле. Могут быть такие расширения языка, что некоторые расширенные формулы не переводятся в формулы исходного языка. При этом с использованием исходной аксиоматики оказывается возможным доказать некоторые высказывания исходного языка, которые были недоказуемы в исходном варианте теории.

Весело. Я раньше не сталкивался с такого рода расширениями синтаксиса, но не отказался бы столкнуться (честно). Не поделитесь определением, ссылкой или хотя бы примером?

epros писал(а):

AGu в сообщении #230616 писал(а):

О каких таких «всех объектах» Вы говорите, epros? Их же нет, они же все воображаемые! И, как Вы сами заметили, объекты нашей любимой арифметики Пеано -- тоже воображаемые.

Я говорю об абстрактных объектах. Слово "воображаемые" предпочитаю не употреблять.

Не возражаю, пусть будут абстрактные.

epros писал(а):

Я вовсе не возражаю против манипуляций с абстрактными объектами в математических теориях (точнее - с именами абстрактных объектов).

Это принципиальный момент в нашей дискуссии. Вы действительно настаиваете на том, что всякий абстрактный объект должен иметь имя? Если это так, то Вы ввели меня в заблуждение своими рассуждениями об объектах. Тогда уж лучше вообще не употреблять термин «абстрактный объект» и даже «объект», а говорить исключительно об «именах». И тогда начавшаяся было дискуссия, по всей видимости, будет скоропостижно завершена (и мне останется лишь погрустить о том, что мы до сих пор рассуждали о вещах, которые Вы изначально отвергали). Ниже я все же временно предполагаю, что говорить об абстрактных объектах пока еще можно -- в умозрительно-психологическом смысле -- как о неких гипотетических элементах абстрактного «универсума теории» (ибо я уже знаю, что слово «модель» Вы не любите).

epros писал(а):

AGu в сообщении #230616 писал(а):

Если же Вы вдруг скажете, что $0,S(0),S(S(0)),\dots$ -- полный список имен всех объектов арифметики Пеано, то я тут же возмущусь попранием моего права воображать иные объекты, не попавшие в этот крохотный списочек.

Уж не о "нестандартных" ли натуральных числах Вы говорите?

Разумеется, о них. (Кстати, в смысле одного из нескольких известных мне определений список $0,S(0),S(S(0)),\dots$ исчерпывает все «стандартные натуральные числа».)

epros писал(а):

Я не буду утверждать, что этот список - полный. Но если Вы будете утверждать, что он неполный, т.е. есть что-то ещё, то я попрошу привести примеры, причём теоретико-множественную аксиоматику (которой я не доверяю) для доказательства существования таковых объектов я попрошу не употреблять.

Раз уж Вы просите пример, то я прежде прошу уточнить, какого рода пример Вы будете готовы принять. Скажем, достаточно ли будет привести пример непротиворечивой теории, которая расширяет арифметику Пеано, имеет очень мало дополнительных аксиом (очень простых и даже отдаленно не напоминающих аксиомы теории множеств) и в которой доказуемо существование «объекта», не имеющего имени -- ни в смысле Вашего старого определения, ни в смысле нового, приведенного ниже?

epros писал(а):

AGu в сообщении #230593 писал(а):

epros писал(а):

Если же Вы имеете в виду моё определение понятия "определённости в теории", то я в принципе готов его подправить.

Давно пора.

Наконец-то началась математика.

Объект $a$ "определён в теории $T$" тогда и только тогда, когда $\exists \varphi_a \in L_T ~ (T \vdash \exists! x ~ \varphi_a(x))$.

Объекты $a$ и $b$, определённые в теории $T$, равны тогда и только тогда, когда $T \vdash \forall x ~ \varphi_a(x) \leftrightarrow \varphi_b(x)$.

Теперь, для примера, про бинарную операцию:
Бинарная операция $?$ определена в теории $T$ тогда и только тогда, когда для любых определённых теорией $T$ объектов $a$ и $b$ существует единственный определённый теорией $T$ объект $c$ такой, что $T \vdash \forall x,y ~ (\varphi_a(x) \wedge \varphi_b(y) \rightarrow (\forall z ~ x?y=z \leftrightarrow \varphi_c(z)))$.

Прежде чем обсуждать это определение, я хотел бы его четко понять. И прошу на этот раз избавить меня от телепатического сеанса. Для начала -- две просьбы.

(1) Начиная определение со слов «Объект $a$ определен...», Вы либо предполагаете уже введенным термин «объект», либо хотя бы знаете (но скрываете), что такое $a$. Пожалуйста, уточните.

(2) Фрагмент $\exists\,\varphi_a$ метаформулы корректен только в том случае, когда $\varphi_a$ -- метапеременная. Поскольку символ $a$ встречается отдельно от $\varphi$, я заключаю, что $\varphi_a$ является не метапеременной, а метатермом. Пожалуйста, исправьте ошибку или выразитесь точнее и формальнее.

epros писал(а):

Надеюсь, что это определение Вы не обзовёте "синтаксическим". К тому же оно ни слова не говорит про "модель".

А разве слово «синтаксический» -- это обзывалка? Я лично не вижу в нем ничего обидного. И поэтому, пожалуйста, не обижайтесь на то, что в новой версии определения Ваши объекты мне опять кажутся синтаксическими.

P.S. Поскольку дело идет к тому, что это не последняя версия Вашего определения , давайте будем их нумеровать или как-то называть. А поскольку определения -- Ваши, предлагаю Вам их и нумеровать/называть/обзывать.

[conviso]

Уважаемый AGu, благодарю Вас за столь тщательный просмотр моего к Вам обращения и детального отслеживания авторских прав Ваших коллег. Я надеялся и, наверно не зря, встретить такую теплую заботу о моем обучении "правильно оформлять цитаты" во время моего участия в Форуме. Полагаю, что я не ввожу в заблуждение участников Форума своим неумением. Хотя, полезно в таком случае принести мои глубочайшие извинения, если они кому-то понадобятся.
Однако, надеюсь на Ваши знания и опытность участия в Форуме и ожидаю, все-таки, ответа на мой вопрос. Соответсвующее обособления авторских прав на Ваши ответы вместе или порознь с уважеамым epros, думаю Вы и без моего участия проведете вполне правильно.

[epros]

AGu в сообщении #230778 писал(а):

epros писал(а):

Я же говорю о расширении синтаксиса в общем смысле. Могут быть такие расширения языка, что некоторые расширенные формулы не переводятся в формулы исходного языка. При этом с использованием исходной аксиоматики оказывается возможным доказать некоторые высказывания исходного языка, которые были недоказуемы в исходном варианте теории.

Весело. Я раньше не сталкивался с такого рода расширениями синтаксиса, но не отказался бы столкнуться (честно). Не поделитесь определением, ссылкой или хотя бы примером?

Эта задача не очень тривиальная, ибо речь идёт о моих собственных соображениях, так что ссылку на авторитетные источники дать не могу , а формулировка примера в двух словах вряд ли получится. Но попробую. Как известно, арифметика Пеано неполна, т.е. в ней есть недоказуемые (но "содержательно истинные" высказывания). Одним из живых примеров таких высказываний является теорема Гудстейна. Идея заключается в том, чтобы расширить язык арифметики Пеано таким образом, чтобы теорема Гудстейна стала доказуемой без изменения аксиоматики теории.

У меня есть доказательство "метатеоремы" Гудстейна (ссылку на кусок своей статьи я здесь где-то уже приводил, если интересно, можете относительно его содержания поводить меня мордой по столу ). От собственно теоремы Гудстейна она отличается тем, что первая утверждает конечность любой последовательности Гудстейна, а вторая утверждает, что для каждой конкретной последовательности Гудстейна в арифметике Пеано есть доказательство её конечности (чувствуете разницу?). Метатеория, которая используется для доказательства, не прибегает ни к каким теоретико-множественным аксиомам. Хотя доказательство изложено большей частью "в прозе", я утверждаю, что для его формализации достаточно исчисления предикатов первого порядка, плюс индукции по натуральным числам (можете на этот счёт меня тоже повозить мордой по столу ).

Следующий вопрос, который возникает, заключается в том, что мешает выполнить доказательство этой метатеоремы в самой арифметике Пеано. Собственно, у меня есть некие идеи относительно того, как этого добиться посредством некоего расширения синтаксиса: нужно добавить средства для записи примитивно-рекурсивных функций. Правда я пока не уверен, что это возможно без выхода за пределы стандартного исчисления предикатов.

AGu в сообщении #230778 писал(а):

epros писал(а):

Я вовсе не возражаю против манипуляций с абстрактными объектами в математических теориях (точнее - с именами абстрактных объектов).

Это принципиальный момент в нашей дискуссии. Вы действительно настаиваете на том, что всякий абстрактный объект должен иметь имя? Если это так, то Вы ввели меня в заблуждение своими рассуждениями об объектах. Тогда уж лучше вообще не употреблять термин «абстрактный объект» и даже «объект», а говорить исключительно об «именах». И тогда начавшаяся было дискуссия, по всей видимости, будет скоропостижно завершена (и мне останется лишь погрустить о том, что мы до сих пор рассуждали о вещах, которые Вы изначально отвергали).

Я не понимаю Вашего разочарования. Что особенного в требовании, чтобы каждый объект теории можно было назвать именем собственным? Как я уже говорил, с моей точки зрения математика оперирует не "самими объектами" (кстати, независимо от того, существует ли этот объект в реальности или является абстракцией), а как раз их именами. Если она при этом признаёт, что некоторому количеству объектов она в принципе не в состоянии присвоить имена ... ну, тогда я просто не понимаю, что означает "работать в этими объектами". Это как с нелинейными аддитивными функциями $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ - утверждается, что они как бы есть, и их даже много, но каким-то образом идентифицировать хотя бы одну из них (например, записать для неё формулу) мы не можем.

AGu в сообщении #230778 писал(а):

Ниже я все же временно предполагаю, что говорить об абстрактных объектах пока еще можно -- в умозрительно-психологическом смысле -- как о неких гипотетических элементах абстрактного «универсума теории» (ибо я уже знаю, что слово «модель» Вы не любите).

Конечно же "говорить"-то я могу. Например, я в принципе понимаю что Вы имеете в виду, если говорите о нелинейной аддитивной функции $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, но против того, чтобы признать их "существование" (хотя бы теоретически) моё сознание сопротивляется. Наверное так же, как Ваше - против признания существования множества всех множеств.

AGu в сообщении #230778 писал(а):

Скажем, достаточно ли будет привести пример непротиворечивой теории, которая расширяет арифметику Пеано, имеет очень мало дополнительных аксиом (очень простых и даже отдаленно не напоминающих аксиомы теории множеств) и в которой доказуемо существование «объекта», не имеющего имени -- ни в смысле Вашего старого определения, ни в смысле нового, приведенного ниже?

Честно говоря, вряд ли я смогу признать теорию, которая доказывает существование объекта, который не определен ни в одном из понятных для меня смыслах. Даже если дополнительных аксиом очень мало и они очень простые, это не исключает возможности их совершенной неконструктивности. Впрочем, кто знает...

AGu в сообщении #230778 писал(а):

(1) Начиная определение со слов «Объект $a$ определен...», Вы либо предполагаете уже введенным термин «объект», либо хотя бы знаете (но скрываете), что такое $a$. Пожалуйста, уточните.

$a$ - это собственное имя (строковая константа), присвоенное объекту теории метатеорией. Что такое "сам объект" я сказать не могу, ибо полагаю, что математика работает только с именами (обозначениями).

AGu в сообщении #230778 писал(а):

(2) Фрагмент $\exists\,\varphi_a$ метаформулы корректен только в том случае, когда $\varphi_a$ -- метапеременная. Поскольку символ $a$ встречается отдельно от $\varphi$, я заключаю, что $\varphi_a$ является не метапеременной, а метатермом. Пожалуйста, исправьте ошибку или выразитесь точнее и формальнее.

Вообще-то я здесь, конечно, ступил. Просто я хотел иметь имена объектов теории, присвоенные метатеорией ($a, b, c$), независимые от соответствующих им формул теории ($\varphi_a, \varphi_b, \varphi_c$), но это потребует определения алгоритма, присваивающего имена, и, в общем, усложнит определение. Фиг со всем этим, давайте лучше считать, что соответствующие формулы теории - это и есть имена объектов. Тогда $\exists \varphi_a$ вообще не нужно, а "объектами теории" следует называть непосредственно $\varphi_a$, $\varphi_b$ и $\varphi_c$.

Поэтому так:
$\varphi_a \in L_T$ является "объектом, определёным в теории $T$" тогда и только тогда, когда $T \vdash \exists! x ~ \varphi_a(x)$.

AGu в сообщении #230778 писал(а):

P.S. Поскольку дело идет к тому, что это не последняя версия Вашего определения , давайте будем их нумеровать или как-то называть. А поскольку определения -- Ваши, предлагаю Вам их и нумеровать/называть/обзывать.

Я в общем-то не дезавуирую первого определения. Как Вы можете заметить, объектам первого рода (замкнутым термам, примеры: $0, S(0), S(S(0)), \dots$) соответствуют объекты второго рода (формулы теории, примеры: $x=0, x=S(0), x=S(S(0)), \dots$). Так что второе определение в некотором смысле расширяет первое: я учёл Вашу претензию (которая показалась мне обоснованной), что теории без констант не следует лишать прав "определять объекты". Называть определения пока никак не буду, давайте уж пользоваться номерами.

[AGu]

conviso в сообщении #230805 писал(а):

Однако, надеюсь на Ваши знания и опытность участия в Форуме и ожидаю, все-таки, ответа на мой вопрос.

Не сочтите отсутствие моего ответа за невежливость. Мое высказывание, попавшее в Вашу цитату, было шутливым. Если бы я мог серьезно обсуждать этот вопрос, я бы непременно ответил. А так -- увы, некомпетентен.

[LetsGOX]

Может это уже и писали, но все-таки

Древний философ писал(а):

Корабль, в котором все детали были заменяны по очереди, по одной детали на новые, будет тем же кораблем? И если нет, то в какой момент он перестанет быть тем же кораблем

[conviso]

"Это вопрос о равестве", в собственном соку, УважаемыйLetsGOX. См, что называется, тему!
Иначе, по какому параметру устанавливается правило "равно"?

[Профессор Снэйп]

Тут стока букаф успели понаписать, что аж страшно. Дико извиняюсь, но я не буду всё это читать

А что касается ответа на основной вопрос темы, то тут всё очень просто. Запись $a = b$ означает, что символы $a$ и $b$ являются именами одного и того же объекта.

[AGu]

Профессор Снэйп в сообщении #231341 писал(а):

Запись $a = b$ означает, что символы $a$ и $b$ являются именами одного и того же объекта.

Сказавши $a$ и $b$, скажите тогда уж и $c$.
Что в данном случае понимается под «объектом» и «именем» и какой формальный смысл вкладывается в фразу «$a$ является именем объекта $\omega$»?

[Профессор Снэйп]

AGu в сообщении #231355 писал(а):

Что в данном случае понимается под «объектом» и «именем» и какой формальный смысл вкладывается в фразу «$a$ является именем объекта $\omega$»?

Я не знаю, какой смысл вкладываете Вы. Пока вижу лишь то, что $\omega$ --- это такое же имя, как и остальные символы. Если Вы хотите сказать, что $a$ является именем имени, то я не знаю, что ответить.

Но фраза "$a$ является именем объекта, который имеет другое имя $\omega$" выглядит совершенно нормально.

Что такое объекты и имена?.. Ну, это не формализуемо, поскольку любая формализация уже будет включать в себя имена и объекты. Если говорить интуитивно, то объекты --- это что угодно, любые мыслимые сущности/наборы свойств, а имена --- конечные последовательности символов.

[AGu]

Профессор Снэйп в сообщении #231376 писал(а):

Что такое объекты и имена?.. Ну, это не формализуемо, поскольку любая формализация уже будет включать в себя имена и объекты. Если говорить интуитивно, то объекты --- это что угодно, любые мыслимые сущности/наборы свойств, а имена --- конечные последовательности символов.

Понял. Принял. (Мы тут недавно как раз эту тему изрядно полили водичкой и, похоже, замочили напрочь.)

P.S. Приятно в очередной раз столкнуться с единомышленником.

[Профессор Снэйп]

AGu в сообщении #231399 писал(а):

P.S. Приятно в очередной раз столкнуться с единомышленником

У меня частенько возникает такое ощущение, что в России логику только в Новосибирске нормально и изучают

Шутка, конечно. Но в каждой шутке есть доля шутки...

[conviso]

Цитата:

Запись а=в означает, что символы а и в являются именами одного и того же объекта.

Да чтоб я понял!

Цитата:

Что такое объекты и имена?.. Ну, это не формализуемо, поскольку любая формализация уже будет включать в себя имена и объекты. Если говорить интуитивно, то объекты --- это что угодно, любые мыслимые сущности/наборы свойств, а имена --- конечные последовательности символов.

Эта логика Кукушки и Петуха..., в басне Крылова: за что же, не боясь греха....
На таком пути можно плести вязь слов, или букаф... до скончания века.
Всегда найдется словосочетание: "не формализуемо..." или "книжки читайте...".
Позвольте спросить, а откуда Вам известно, что это "один и тот же объект"? Это Вам так видно или озарение некое типа "откровения"? причем здесь формализация? Если хочется за логику поговорить, то ответьте, пожалуйста, как Вы различаете эти "мыслимые сущности" - это лично Ваше свойство "посвященного в нужные книжки", или это научное знание, а, значит, воспроизводимое действие, вполне доступное для контроля общины по выбранному критерию. Если Вы не свернете на отсутствие "формализации", то Вам придется привести этот критерий для различения "чего угодно" больному сознанию и "чего угодно" здоровому сознанию. Все-таки общественный вид деятельности "наука", надо полагать, является не для всех шаманством с признаками "озарений".

[Виктор Викторов]

conviso в сообщении #231490 писал(а):

Эта логика Кукушки и Петуха..., в басне Крылова: за что же, не боясь греха....
На таком пути можно плести вязь слов, или букаф... до скончания века.
Всегда найдется словосочетание: "не формализуемо..." или "книжки читайте...".
Позвольте спросить, а откуда Вам известно, что это "один и тот же объект"? Это Вам так видно или озарение некое типа "откровения"? причем здесь формализация? Если хочется за логику поговорить, то ответьте, пожалуйста, как Вы различаете эти "мыслимые сущности" - это лично Ваше свойство "посвященного в нужные книжки", или это научное знание, а, значит, воспроизводимое действие, вполне доступное для контроля общины по выбранному критерию. Если Вы не свернете на отсутствие "формализации", то Вам придется привести этот критерий для различения "чего угодно" больному сознанию и "чего угодно" здоровому сознанию. Все-таки общественный вид деятельности "наука", надо полагать, является не для всех шаманством с признаками "озарений".

conviso! Здесь не говорят «за логику». Здесь разговаривают о логике. И в частности о математической логике. Ваши слова, обращённые к серьёзным учёным пакостны. Не знаете, что сказать? Помолчите! Я понимаю каждую запятую в приведённых Вами цитатах. Но это не мешает мне сидеть среди десятка учебников по математической логике, вгрызаться в них и говорить, что я мало, что понимаю в этом. Есть единственный способ что-то понять и этот способ учиться.

[AGu]

epros в сообщении #230855 писал(а):

У меня есть доказательство "метатеоремы" Гудстейна

Я послал ЛС по этому поводу.

epros писал(а):

AGu в сообщении #230778 писал(а):

Вы действительно настаиваете на том, что всякий абстрактный объект должен иметь имя? Если это так, то Вы ввели меня в заблуждение своими рассуждениями об объектах. Тогда уж лучше вообще не употреблять термин «абстрактный объект» и даже «объект», а говорить исключительно об «именах». И тогда начавшаяся было дискуссия, по всей видимости, будет скоропостижно завершена (и мне останется лишь погрустить о том, что мы до сих пор рассуждали о вещах, которые Вы изначально отвергали).

Я не понимаю Вашего разочарования. Что особенного в требовании, чтобы каждый объект теории можно было назвать именем собственным?

То, что это требование по сути дела исключает возможность говорить об абстрактных объектах. Какие же это «абстрактные объекты», если они все -- «чиста конкретные» -- не то что поименованные, а фактически являющиеся именами? Мне довольно долгое время казалось, что Вы допускаете неформальные рассуждения об абстрактных объектах, а теперь вижу, что не допускаете. Я, собственно, не настаиваю. Просто грущу (несильно так, слегка), что пытался обсуждать изначально неподдающееся обсуждению.

epros писал(а):

AGu в сообщении #230778 писал(а):

Скажем, достаточно ли будет привести пример непротиворечивой теории, которая расширяет арифметику Пеано, имеет очень мало дополнительных аксиом (очень простых и даже отдаленно не напоминающих аксиомы теории множеств) и в которой доказуемо существование «объекта», не имеющего имени -- ни в смысле Вашего старого определения, ни в смысле нового, приведенного ниже?

Честно говоря, вряд ли я смогу признать теорию, которая доказывает существование объекта, который не определен ни в одном из понятных для меня смыслах.

Во-во. Ладно, проехали. Лучше вернемся к математике.

epros писал(а):

$\varphi_a \in L_T$ является "объектом, определёным в теории $T$" тогда и только тогда, когда $T \vdash \exists! x ~ \varphi_a(x)$.

Коль скоро Вы предпочли нумерацию, я не придумал ничего лучше, кроме как назвать такие формулы $\varphi_a$ объектами теории $T$ во 2-м смысле. Кстати, вместо $\varphi_a$ я бы писал писал просто $\varphi$, так как индекс $a$ только отвлекает от сути.

Итак, объект теории $T$ во 2-м смысле -- это формула $\varphi\in L_T$ с одной свободной переменной такая, что $T\vdash(\exists!\,x)\,\varphi(x)$.

Рассмотрим теорию $\mathcal O_2$ с равенством, имеющую единственную специальную аксиому

$(\exists\,x)(\exists\,y)\bigl(x\ne y\ \&\ (\forall\,z)(z=x\ \lor\ z=y)\bigr)$.

Думаю, многие согласятся с тем, что $\mathcal O_2$ -- это «теория двух объектов». Тем не менее, теория $\mathcal O_2$ не имеет ни одного объекта во 2-м смысле. Вас это не смущает?

[rishelie]

Может, я не заметил, но мне странно, что здесь не вспомнили про замечательную аксиому равенства:

$a=b\to(\varphi(a)\to\varphi(b))$, приведенную в гильбертовских "Основаниях математики". Иначе говоря, равенство объектов в теории означает равенство их свойств, ни больше и не меньше.