Задача о городах

[Asterixer]

Имеется город который представляет собой квадраты разделенные промежутками - улицами.
Картинка:
Имеется система из 5 городов. q-й город получается из первого параллельным переносом, при котором точка A1 совпадает с Aq.
Нужно доказать, что выбрав улицы достаточно узкими, каждая точка плоскости принадлежит хотя бы 3 зданиям из этих 5 городов.

Спасибо.

[Профессор Снэйп]

А что это за точки такие: $A_1$ и $A_q$? Из рисунка это непонятно.

Похоже, что рисунок надо подредактировать

-- Вс июл 26, 2009 11:08:30 --

Asterixer в сообщении #231120 писал(а):

Нужно доказать, что выбрав улицы достаточно узкими, каждая точка плоскости принадлежит хотя бы 3 зданиям из этих 5 городов.

У меня такое ощущение, что в предложении что-то пропущено.

[Asterixer]

5 точек на диагонали одного из зданий выбраны так, чтобы равномерно делили диагональ здания на 4 части.
Точки нужны чтобы просто показать как города 2, 3, 4, 5 получаются из города 1 параллельным переносом, то есть чтобы получить город q из города 1, нужно перенести город 1 так, чтобы A1 наложилась на Aq.

Цитата:

У меня такое ощущение, что в предложении что-то пропущено.

Да, вы правы, предложение некорректно.
Доказать нужно следующее:
Улицы города можно выбрать настолько узкими, что каждая точка плоскости будет покрыта по крайней мере тремя зданиями пяти городов.

PS Мне необязательно полное доказательство. Просто хотя бы направление или способ доказательства.

[Профессор Снэйп]

Asterixer в сообщении #231206 писал(а):

5 точек на диагонали одного из зданий выбраны так, чтобы равномерно делили диагональ здания на 4 части.

А, теперь понятно.

Asterixer в сообщении #231206 писал(а):

Доказать нужно следующее:
Улицы города можно выбрать настолько узкими, что каждая точка плоскости будет покрыта по крайней мере тремя зданиями пяти городов.

Координатный метод. Напишите систему неравенств, которым должны удовлетворять точки, находящиеся внутри одного из зданий. Затем систему неравенств для "сдвинутого" города. И затем покажите, что при достаточно узких улицах любая точка плоскости удовлетворяет одной из двух систем.

[Asterixer]

Цитата:

И затем покажите, что при достаточно узких улицах любая точка плоскости удовлетворяет одной из двух систем.

Это доказать нельзя, так как всегда будут точки которые не удовлетворяют этому утверждению.

Но мне удалось показать, что если одна из координат не удовлетворяет неравенству одного из городов, то при условии, что ширина улицы меньше четверти ширины здания, она удовлетворяет всем остальным четырем городам.

Таким образом, координата x удовлетворяет неравенству для зданий четырех городов, и координата y удовлетворяет неравенству для зданий четырех городов. Это и означает, что любая точка покрыта по крайней мере тремя зданиями пяти городов.

Спасибо за совет. Все оказалось очень просто.

[Профессор Снэйп]

Asterixer в сообщении #231248 писал(а):

Цитата:

И затем покажите, что при достаточно узких улицах любая точка плоскости удовлетворяет одной из двух систем.

Это доказать нельзя, так как всегда будут точки которые не удовлетворяют этому утверждению.

Угу, ошибся немного. Надо было сказать "одной из трёх", а не "одной из двух" систем.