Здравствуйте. Я обнаружил, что совершенно не понимаю смысла вывода длин (e.g. длин дуг кривых) через скалярное произведение. Сразу оговорюсь, что в математике я практически не разбираюсь (я всего-лишь программист-недоучка, хе-хе) и потому надеюсь на ваше доходчивое разъяснение сабжа.
Проблема, собственно, вот в чем... Обычно в книжках, например по диф. геометрии, длины выводят примерно так (к сожалению под рукой сейчас подходящей литературы нет, чтобы процитировать или сослаться точно, поэтому опишу собственное понимание, необязательно верное и корректное):
Пусть есть какое-нибудь подходящее пространство (типа линейного или аффинного)

с евклидовой структурой, введенной посредством тензора (метрики)

(понятно, что требуется

, да и вообще положительная определенность короче говоря), заданного в криволинейных координатах

. На деле

-- поле, конечно, ну да ладно...
Итак, нужно отыскать длину

кривой, заданной параметрически, системой
![$x^i=x^i(t),t\in[t_0;t_1]\subset\mathbb{R}$ $x^i=x^i(t),t\in[t_0;t_1]\subset\mathbb{R}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/0/1/70188c7bf7fe829c2c08624b5184a75e82.png)
(

от

до

бегает). Получается, каждая точка этой кривой задается вектором

.
Тогда, если рассматриваемая кривая -- гладкая (хотя, может быть просто дифференцируемости хватает?), то в каждой её точке существует касательный вектор

, который можно разложить с учетом правила дифференцирования сложной функции как

откуда

(кстати, насколько законно манипулировать частями символа производной

как обычными числителем/знаменателем?).
Далее обычно предлагают найти скалярный квадрат дифференциала

. Пусть

-- то самое скалярное произведение. Учитывая равенство

то есть учитывая, что касательные к координатным линиям из-за своей линейной независимости выполняют роль элементов "локального базиса" (репера, если взять их вместе с точкой, в которой они вычислены), можно прийти к такому результату

Ну и наконец, можно подсчитать долгожданную длину через контурный интегральчик по дуге

Тем же макаром отыскав квадрат от самого касательного вектора, то есть вычислив

можно получить искомую длину и через определенный интеграл

Вот здесь для меня и возникает загвоздка... Как бы смешно не звучал вопрос, но почему

? То есть, почему скалярный квадрат дает квадрат длины???
Я прекрасно понимаю, что скалярное произведение дает просто число, а скалярный квадрат вектора дает число, как-то связанное именно с этим вектором, но почему это число называют длиной???
Это же элементарная математика, буквально в пятом классе проходят! Объясните! Если можно, то и про задание углов тоже с удовольствием послушаю.
Заранее огромное спасибо.