Длина & скалярное произведение

[Circiter]

Здравствуйте. Я обнаружил, что совершенно не понимаю смысла вывода длин (e.g. длин дуг кривых) через скалярное произведение. Сразу оговорюсь, что в математике я практически не разбираюсь (я всего-лишь программист-недоучка, хе-хе) и потому надеюсь на ваше доходчивое разъяснение сабжа.

Проблема, собственно, вот в чем... Обычно в книжках, например по диф. геометрии, длины выводят примерно так (к сожалению под рукой сейчас подходящей литературы нет, чтобы процитировать или сослаться точно, поэтому опишу собственное понимание, необязательно верное и корректное):

Пусть есть какое-нибудь подходящее пространство (типа линейного или аффинного) $\mathbb{V}^n$ с евклидовой структурой, введенной посредством тензора (метрики) $g$ (понятно, что требуется $det(g_{ij})>0$, да и вообще положительная определенность короче говоря), заданного в криволинейных координатах $x^1,\ldots,x^n$. На деле $g$ -- поле, конечно, ну да ладно...

Итак, нужно отыскать длину $l$ кривой, заданной параметрически, системой $x^i=x^i(t),t\in[t_0;t_1]\subset\mathbb{R}$ ($i$ от $1$ до $n$ бегает). Получается, каждая точка этой кривой задается вектором $\rho=\rho(t)=\rho(x^1(t),\ldots,x^n(t))$.

Тогда, если рассматриваемая кривая -- гладкая (хотя, может быть просто дифференцируемости хватает?), то в каждой её точке существует касательный вектор $d\rho/dt$, который можно разложить с учетом правила дифференцирования сложной функции как

$$\frac{d\rho}{dt}=\frac{\partial\rho}{\partial x^i}\frac{d x^i}{dt},$$

откуда

$$d\rho=\frac{\partial\rho}{\partial x^i} dx^i$$

(кстати, насколько законно манипулировать частями символа производной

$$\frac{d}{dx}$$

как обычными числителем/знаменателем?).

Далее обычно предлагают найти скалярный квадрат дифференциала $d\rho$. Пусть $\langle \cdot | \cdot \rangle$ -- то самое скалярное произведение. Учитывая равенство

$$\langle \frac{\partial\rho}{\partial x^i} | \frac{\partial\rho}{\partial x^j} \rangle=g_{ij},$$

то есть учитывая, что касательные к координатным линиям из-за своей линейной независимости выполняют роль элементов "локального базиса" (репера, если взять их вместе с точкой, в которой они вычислены), можно прийти к такому результату

$$(d\rho)^2 \equiv d\rho^2=\langle d\rho | d\rho \rangle=\langle \frac{\partial\rho}{\partial x^i} dx^i | \frac{\partial\rho}{\partial x^j} dx^j \rangle= g_{ij}dx^idx^j.$$

Ну и наконец, можно подсчитать долгожданную длину через контурный интегральчик по дуге

$$l=\int\limits_\smile|d\rho|=\int\limits_\smile\sqrt{g_{ij}dx^idx^j}.$$

Тем же макаром отыскав квадрат от самого касательного вектора, то есть вычислив

$$\langle \frac{d\rho}{dt}|\frac{d\rho}{dt}\rangle=g_{ij}\frac{dx^i}{dt}\frac{dx^j}{dt},$$

можно получить искомую длину и через определенный интеграл

$$l=\int\limits_{t_0}^{t_1}\left|\frac{d\rho}{dt}\right|dt=\int\limits_{t_0}^{t_1}\sqrt{g_{ij}\frac{dx^i}{dt}\frac{dx^j}{dt}}dt.$$

Вот здесь для меня и возникает загвоздка... Как бы смешно не звучал вопрос, но почему $|d\rho|=\sqrt{\langle d\rho|d\rho\rangle}$? То есть, почему скалярный квадрат дает квадрат длины???

Я прекрасно понимаю, что скалярное произведение дает просто число, а скалярный квадрат вектора дает число, как-то связанное именно с этим вектором, но почему это число называют длиной???

Это же элементарная математика, буквально в пятом классе проходят! Объясните! Если можно, то и про задание углов тоже с удовольствием послушаю.

Заранее огромное спасибо.

[CowboyHugges]

Circiter в сообщении #231198 писал(а):

$$\frac{d\rho}{dt}=\frac{\partial\rho}{\partial x^i}\frac{d x^i}{dt},$$

откуда

$$d\rho=\frac{\partial\rho}{\partial x^i} dx^i$$

Что-то как-то сомнительно, смахивает на $\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{in}{co}$ Поэтому и дальнейшее как-то странно смотрится.
ЗЫ: Не обозначайте скалярное произведение с помощью бра-кета, это несколько иное

[Circiter]

2CowboyHugges

Цитата:

Что-то как-то сомнительно

В формуле

$$\frac{d\rho}{dt}=\frac{\partial\rho}{\partial x^i}\frac{dx^i}{dt}$$

я использую суммирование по повторяющимся индексам (не по разносортным ко- и контравариантным повторяющимся, а просто по повторяющимся).

Правая часть, как я уже говорил, выводится из правила отыскания производной сложной функции, то есть сначала дифференцируется по "вложенной" функции ($\partial\rho/\partial x^i$), а потом результат умножается на производную ещё более вложенной функции ($dx^i/dt$).

Можно переписать эту формулу и в более человечной форме (с суммированием по эйнштейну). Достаточно обозначить

$$\partial_i\equiv\frac{\partial}{\partial x^i},$$

после чего та первая формула будет выглядеть как

$$\frac{d\rho}{dt}=\partial_i\rho\frac{dx^i}{dt}.$$

Затем в только что полученном выражении я просто "переношу" $dt$ из левой части в правую, "сокращаю" и... Готово. Получился дифференциал "годографа" интересующей меня кривой (выражение для полного дифференциала надеюсь вы в той формулке узнаёте?).

Цитата:

Не обозначайте скалярное произведение с помощью бра-кета

Спасибо за замечание, но мне почему-то нравится дираковская нотация. Тем более, что обычно ведь скалярное произведение обозначают просто смежной записью векторов (типа $ab$), а у меня в формулках тогда разночтения могут появиться. Или может быть в символе $\langle\cdot|\cdot\rangle$ просто заменить вертикальный разделитель на запятую, типа $\langle\cdot,\cdot\rangle$?

P.S.: Может быть какой-нибудь альтернативный способ нахождения длины дуги подскажете? Только разжеванный, для чайника, ok?

[CowboyHugges]

Circiter в сообщении #231215 писал(а):

Или может быть в символе $\langle\cdot|\cdot\rangle$ просто заменить вертикальный разделитель на запятую, типа $\langle\cdot,\cdot\rangle$?

Да именно так, замените запятой. Просто если там стоит вертикальная черта то подразумевается, что там с одной стороны вектор с другой ковектор, терминология может быть разной, но факт что там объекты разной природы.

-- Вс июл 26, 2009 17:18:03 --

Теперь по-существу."Переношу" и "сокращаю" $dt$ это нехорошо, думаю Вы сами это понимаете. Вам не надо переходить к какому-то непонятному $d\rho$ потому как в формуле длины кривой используется так раз, $\frac{d\rho}{dt}$,то есть так раз поле касательных к кривой векторов. Выражение для длины выглядит именно как $\int_{t_0}^{t_1}||\dot{\rho}||dt$

[Semailles]

Бра и кет -- это ровно скалярное произведение и есть: если говорить точнее, это спаривание соответсвующих вектора и 1-формы, полученной из отождествления векторов и 1-форм, но такое спаривание как раз и равно скалярному произведению. В этом контексте обычно так не пишут, но ничего криминального в этом нет. dt "сокращать" тоже можно (это замена переменной в 1-форме).

Что же до связи скалярного произведения с длиной, то это просто определение. Если вы возьмете стандартное скалярное произведение на обычном эвклидовом пространстве, то получите самую обычную длину (по теореме Пифагора).

Про углы та же история: $<a|b>=|a|\cdot|b|\cdot \cos (\phi)$, где $\phi$ -- угол между $a$ и $b$. Для описанной в предыдущем абзаце ситуации это дает обычный угол (школьная теорема о косинусах), а в общем случае служит определением угла.

[Circiter]

2CowboyHugges

Цитата:

Вам не надо переходить к какому-то непонятному $d\rho$

Дык я просто хотел криволинейный интеграл поюзать. Но, видимо, запутался...

Цитата:

Выражение для длины выглядит именно как $\int_{t_0}^{t_1}||\dot\rho||dt$

Ага. Но вот этот-то момент с порождением нормы мне и не понятен. Откуда она берется? Неужели эта процедура отчасти произвольна? Не могли бы вы рассказать немного об этом? Ещё раз спасибо.

2Semailles

Цитата:

Что же до связи скалярного произведения с длинной, то это просто определение

Но ведь что-то за такой аксиоматикой должно стоять. Какой-нибудь исторический аспект что-ли... Извините если глупости говорю, просто хочу разобраться. Огромное спасибо за участие.

Цитата:

Если вы возьмете стандартное скалярное произведение на обычном эвклидовом пространстве, то получите самую обычную длину (по теореме Пифагора).

О, это ещё хуже, то есть, имхо, теорему Пифагора доказать и понять ещё сложнее.

[Semailles]

Circiter в сообщении #231235 писал(а):

Но вот этот-то момент с порождением нормы мне и не понятен. Откуда она берется? Неужели эта процедура отчасти произвольна? Не могли бы вы рассказать немного об этом? Ещё раз спасибо.

Да, так и есть. Если у вас кривая лежит в каком-то пространстве с нормой в касательном пространстве (римановом многообразии, например), то норму на кривой вы можете взять из объемлющего пространства, просто ограничив ее на касательное пространство к кривой. Если же у вас кривая весит где-то в воздухе, то норма -- некое дополнительное данное, в ее выборе есть произвол.

Цитата:

Но ведь что-то за такой аксиоматикой должно стоять. Какой-нибудь исторический аспект что-ли...

Исторический аспект -- как раз теорема Пифагора в эвклидовом пространстве.

Выше я еще про угол добавил, а вы успели ответить до того, кажется.

[CowboyHugges]

Circiter в сообщении #231235 писал(а):

о ведь что-то за такой аксиоматикой должно стоять. Какой-нибудь исторический аспект что-ли...

Просто при изометрическом вложении этого многообразия в евклидово пространство,как правило, все эти взятые с потолка "длины" и "углы", станут самыми обычными длинами и углами в евклидовом пространстве

[Circiter]

2Semailles

Цитата:

Выше я еще про угол добавил, а вы успели ответить до того, кажется.

Да, я заметил вашу реплику об углах. Просто до меня начинает доходить потихоньку... Хотя мне все еще кажется, что имея способ вычислять длины дуг, можно и углы спокойно вычислять всего-лишь как длины соответствующих этим углам дуг единичных окружностей, то есть кажется, что в жестком определении углов вовсе нет надобности; могу и ошибаться.

2All
Начинаю прозревать.

Если будут вопросы, я пожалуй ещё обращусь к этому форуму. Замечательное место, особенно учитывая более-менее нормальную поддержку формул. А эту темку, наверное, можно и закрывать потихоньку.

Ещё раз всем огромное спасибо за ответы.