Полугруппы

[Sonic86]

$<\{ 1+t ,\ 1+t^2,\ t+t^2 \}; \cdot>$, где $t^3=1$, а умножение по модулю 2.

(идемпотент $t+t^2$)

[Профессор Снэйп]

$(1+t)^2 = 1 + 2t + t^2 = 1 + t^2$
$(1+t^2)(1+t) = 1 + t + t^2 + t^3 = t + t^2$
$(t + t^2)(1+t) = t + 2t^2 + t^3 = 1 + t$

У Вас, батенька, получилась группа, изоморфная группе $\mathbb{Z}_3$

[Sonic86]

Все! До меня дошло! Это все циклические группы! Я их и строил как циклические ($1+t$ как образующую брал)! Я целый месяц до этого думал, что это полугруппы!!! И столько чепухи написал! Каюсь... (можете меня забанить)

[Профессор Снэйп]

Человеку свойственно ошибаться

[Naf2000]

Контрпример.
Рассмотрим полугруппу S с двусторонней единицей 1, порожденную двумя образующими $p,q$ и соотношением $qp=1$. Произвольный ее элемент может быть представлен в виде $p^nq^m$ где $n,m\in\mathbb{Z}_+$
$\forall p^nq^m \exists! p^mq^n \Rightarrow (p^nq^m)(p^mq^n)(p^nq^m)=p^nq^m$
Однако, например, $p$ не имеет обратного справа.

[Хорхе]

Да, есть такое, бициклической полугруппой называется.

Но все же не контрпример:
$pq\cdot 1\cdot pq = pq\cdot pq\cdot pq = pq$.

Вообще контрпример не имеет смысла искать среди инверсных полугрупп (так как инверсная полугруппа, удовлетворяющая условию задачи, имеет только один идемпотент, а потому является группой).

[Naf2000]

согласен, это группа