Математика и логика

[luitzen]

Эх, раз пошла такая пьянка…

А. В. Родин «Математика Евклида в свете философии Платона и Аристотеля»

[Кардановский]

Коллеги! Вам не кажется,что вы,углубившись в историю математики, несколько отвлеклись от собственно обсуждения вопроса взаимопроникновения логики и математики...

[Владимир Рогожин]

Свободный Художник в сообщении #222872 писал(а):

В связи с постом epros...хотелось бы выяснить соотношение между логикой и математикой.
Кто из них круче, кто фундаментальнее? Кто на ком зиждется?

Логос "покруче". На нем все и держится. См. ОнтоТопоЛогия. http://philosophystorm.org/vladimir_rogozhin/901

[Кардановский]

Владимир Рогожин: Математика дала очень многое логике.Поэтому, вряд ли современная логика была бы таковой без математики! Возможно даже,что сегодня более правильно будет говорить не о математике и логике в отдельности и в сравнении,а о единой симбиотической или синтетической широкоуниверсальной и всеохватывающей научной дисциплине ЛОГИКОМАТЕМАТИКЕ...

[rishelie]

А мне думается, Гильберт был прав, когда выделил область знаний под названием "Основания математики", написав вместе с Бернайсом соответствующую книгу. Именно тут, в основаниях логика с математикой переплетены настолько сильно, что отделить одну от другой невозможно. А вот анализ, топология и все, что дальше - это уже математика, основанная на "основаниях" Я уж не говорю о матфизике и матстатистике. Вопрос с информатикой только довольно деликатный...

[Владимир Рогожин]

Вот тут-то и появляется категория "память" (структуры)...

[Кардановский]

rishelie: Ну,что ж, новые идеи зачастую всего лишь хорошо позабытые старые...Вынужден признать приоритет Д.Гильберта в этом. Жаль вот только,что за прошедшие десятилетия сформулированное им не только не было в достаточной степени продолжено и развито ,но и как то даже и подзабыто...

[Свободный Художник]

Общий тренд, кажется, заключается в том, что математика систематически подминает под себя логику.
Если исходить из сентенции Кейслера – Чэна:

Цитата:

Граница между универсальной алгеброй и теорией моделей несколько расплывчата; наше употребление этих терминов объясняется равенством:
универсальная алгебра + логика = теория моделей

Кейслер Г. Дж., Чэн Ч.Ч. Теория моделей.
М.: Мир, 1977, сc. 13 — 16:
http://www.px-pict.com/9/6/2/3/2/1.html

то нетрудно видеть, что основа логики – формальный язык теперь и сам стал алгеброй:
http://www.px-pict.com/9/6/2/3/1/2/2.html
а специфически формально-лингвистическое понятие “подстановки” вместо переменных некоторого правильно построенного предложения превратилось в общеалгебраическое понятие гомоморфизма:
http://www.px-pict.com/9/6/2/3/1/2/3.html

(ссылки из
Расева Е., Сикорский Р.
Математика метаматематики.
Пер. с англ., М.: "Наука", 1972, сс. 245 – 246.)

Таким образом, логики в формуле Кейслера – Чэна становится все меньше, а универсальной алгебры – все больше.

[Кардановский]

Свободный художник: Ну что ж, это еще один пример,подтверждающий симбиотическое состояние логики и математики. Слились ли эти две дисциплины в одну без различия их специфических сфер? На мой взгляд,этот вопрос пока остается открытым...Ответ на него может содержаться в ответе на вопрос: может ли математика описать все,чем занимается логика и наоборот?